Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)`

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Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)`

Message  G. Lorang le Ven 29 Oct - 9:49

Quel est le nombre de solutions réelles de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)` ?
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Il existe 3 solutions

Message  carole le Sam 30 Oct - 9:36

Pour que l' équation soit vérifiée il faut d' abord que `x>=0`, sinon `sqrt(x)` n' existe pas.

Posons `y=sqrt(x)` (y`>=`0):

`y^2+y=y^3`, car `x=y^2`
`iff y^3-y^2-y=0
`iff y(y^2-y-1)=0
`iff y=0` ou `y^2-y-1=0`, or `Delta=5`

d' où `y^2-y-1=0` admet 2 solutions distinctes à savoir:

`(1+sqrt(5))/2` et `(1-sqrt(5))/2`
De plus `((1+sqrt(5))/2)^2 != ((1-sqrt(5))/2)^2 != 0`

Donc `x+sqrt(x)=x*sqrt(x)` admet trois solutions.
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Hmmmmm ...

Message  G. Lorang le Sam 30 Oct - 15:22

Tes `y` sont-ils vraiment tous `>=0` ... Smile
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Re: Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)`

Message  carole le Jeu 6 Jan - 19:32

Pardon, il faut évidemment rejeter la solution `y=(1-sqrt(5))/2` ,car on a défini `y>=0`.

Mais j' ai encore une question:
Quand on introduit l' équation avec les racines carrées dans la V200 (j' ai seulement contrôlé mes calculs), elle donne une autre solution à savoir `(sqrt(5)+3)/2` (et `0`). Si on remplace les `sqrt(x)` par `x` simplement elle donne les solutions que j' ai trouvé par le calcul.
Je voudrais bien savoir d' où vient ce résultat différent.

Merci en avance!
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Ben c'est normal ...

Message  G. Lorang le Dim 9 Jan - 17:51

... tu dois encore calculer x, tu as seulement calculé y ... Smile
`x=y^2=((1+sqrt(5))/2)^2=(6+2*sqrt(5))/4=(3+sqrt(5))/2`

Donc les solutions sont `(3+sqrt(5))/2` et 0.

Cordialement, G. Lorang
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Re: Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)`

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