Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)`
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Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)`
Quel est le nombre de solutions réelles de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)` ?
Il existe 3 solutions
Pour que l' équation soit vérifiée il faut d' abord que `x>=0`, sinon `sqrt(x)` n' existe pas.
Posons `y=sqrt(x)` (y`>=`0):
`y^2+y=y^3`, car `x=y^2`
`iff y^3-y^2-y=0
`iff y(y^2-y-1)=0
`iff y=0` ou `y^2-y-1=0`, or `Delta=5`
d' où `y^2-y-1=0` admet 2 solutions distinctes à savoir:
`(1+sqrt(5))/2` et `(1-sqrt(5))/2`
De plus `((1+sqrt(5))/2)^2 != ((1-sqrt(5))/2)^2 != 0`
Donc `x+sqrt(x)=x*sqrt(x)` admet trois solutions.
Posons `y=sqrt(x)` (y`>=`0):
`y^2+y=y^3`, car `x=y^2`
`iff y^3-y^2-y=0
`iff y(y^2-y-1)=0
`iff y=0` ou `y^2-y-1=0`, or `Delta=5`
d' où `y^2-y-1=0` admet 2 solutions distinctes à savoir:
`(1+sqrt(5))/2` et `(1-sqrt(5))/2`
De plus `((1+sqrt(5))/2)^2 != ((1-sqrt(5))/2)^2 != 0`
Donc `x+sqrt(x)=x*sqrt(x)` admet trois solutions.
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Re: Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x+sqrt(x)=xsqrt(x)`
Pardon, il faut évidemment rejeter la solution `y=(1-sqrt(5))/2` ,car on a défini `y>=0`.
Mais j' ai encore une question:
Quand on introduit l' équation avec les racines carrées dans la V200 (j' ai seulement contrôlé mes calculs), elle donne une autre solution à savoir `(sqrt(5)+3)/2` (et `0`). Si on remplace les `sqrt(x)` par `x` simplement elle donne les solutions que j' ai trouvé par le calcul.
Je voudrais bien savoir d' où vient ce résultat différent.
Merci en avance!
Mais j' ai encore une question:
Quand on introduit l' équation avec les racines carrées dans la V200 (j' ai seulement contrôlé mes calculs), elle donne une autre solution à savoir `(sqrt(5)+3)/2` (et `0`). Si on remplace les `sqrt(x)` par `x` simplement elle donne les solutions que j' ai trouvé par le calcul.
Je voudrais bien savoir d' où vient ce résultat différent.
Merci en avance!
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Ben c'est normal ...
... tu dois encore calculer x, tu as seulement calculé y ...
`x=y^2=((1+sqrt(5))/2)^2=(6+2*sqrt(5))/4=(3+sqrt(5))/2`
Donc les solutions sont `(3+sqrt(5))/2` et 0.
Cordialement, G. Lorang
`x=y^2=((1+sqrt(5))/2)^2=(6+2*sqrt(5))/4=(3+sqrt(5))/2`
Donc les solutions sont `(3+sqrt(5))/2` et 0.
Cordialement, G. Lorang
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