Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x^4-x^2=sqrt(x^4)-sqrt(x^2)`

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Algèbre : Nombre de solutions de l'équation `x^4-x^2=sqrt(x^4)-sqrt(x^2)`

Message  G. Lorang le Ven 29 Oct - 9:52

Quel est le nombre de solutions réelles de l'équation `x^4-x^2=sqrt(x^4)-sqrt(x^2)`


Dernière édition par G. Lorang le Sam 27 Nov - 20:03, édité 1 fois
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5 Solutions réeles

Message  DeStammet le Sam 27 Nov - 14:37

Les solutions de l'équation donnée sont les racines de f telle que `f(x)=x^4-x^2+sqrt(x^2)-sqrt(x^4)`,
avec `f(-x)=f(x)`, f est PAIRE.

Donc il suffit d'étudier des racines de f (solutions de l'equation) sur `RR_+`:

`x(x^3-2x-1) = 0`
`iff x=0 text( ou ) x^3-2x-1=0`

`x^3-2x+1=0` avec `x=1` comme solution, on a, d'après Horner:
`x^2+x-1=0` --> `Delta=5`.
Sur `RR_+`, ce trinôme s'annule ssi `x=(sqrt(5)-1)/2`.

Vu que f est paire, `-1` et `(1-sqrt(5))/2` sont aussi des racines de f.

Donc l'équation a 5 racines réelles.

(On aurait aussi pu résoudre l'équation en la transformant en `x^4-2x^2+│x│=0`)

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BRAVO !

Message  G. Lorang le Sam 27 Nov - 15:48

Très bon début pour toi. Raisonnement correct. 10 points cadeau !
Je me suis permis de corriger un peu ta réponse.
J'ai tapé les formules comme il faut. Lis le mode d'emploi sur le forum pour voir comment ça marche !
Si tu as des problèmes, écris-moi !

Cordialement, G. Lorang
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Petite précision ...

Message  G. Lorang le Mer 1 Déc - 19:42

Pour information : utiliser Horner n'était pas nécessaire dans cet exercice :
Sur `RR_+` on a :
`x^4-x^2=sqrt(x^4)-sqrt(x^2)`
`iff x^4-x^2=x^2-x`
`iff (x^2-x)(x^2+x)=x^2-x`
`iff (x^2-x)(x^2+x-1)=0`
`iff x(x-1)(x^2+x-1)=0`
etc.
Cordialement, G. Lorang
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