Géométrie : Aire délimitée par 3 cercles

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Géométrie : Aire délimitée par 3 cercles

Message  G. Lorang le Ven 8 Oct - 9:24



Sur la figure ci-dessus, les trois cercles sont de même rayon `R` et deux quelconques d'entre eux passent par le centre du troisième. Déterminer l'aire de la figure hachurée !
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`aire=(r^2(pi-sqrt(3)))/2`

Message  carole le Sam 9 Oct - 7:54

Comme les 3 cercles ont même rayon et les points d' intersection de deux cerclres se trouvent à chaque fois sur le centre de l' autre, on peut dire que
`AB=BC=CA=r` où r est le rayon du cercle
et que le triangle est donc équilatéral (il a trois angles de `pi/3`rad).

Calculons d' abord l' aire du secteur circulaire formé par l' arc AB(=BC=CA):
aire(arc)=`(pi/3*r^2)/2=pi/6*r^2

Calculons l' aire du triangle ABC:
aire(triangle)=`(r*sqrt(3)/2*r)/2=r^2*sqrt(3)/4

Calculons enfin l'aire de la partie hachurée:
aire=aire(arc)+2(aire(arc)-aire(triangle))=`pi/6*r^2+2*(pi/6*r^2-r^2*sqrt(3)/4)
`=r^2*(pi/2-sqrt(3)/2)


Dernière édition par carole le Lun 10 Jan - 20:17, édité 4 fois
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Petites fautes ...

Message  G. Lorang le Lun 11 Oct - 7:47

carole a écrit:
Calculons d'abord l' aire du secteur circulaire formé par l' arc AB(=BC=CA):
aire(arc)=`(pi/3)/(2*pi)*r^2*2*pi=pi/3*r^2

La formule pour l'aire d'un secteur circulaire est : `Aire=(alpha*r^2)/2` où `alpha` est l'angle et `r` le rayon.

carole a écrit:
Calculons l'aire du triangle ABC:
aire(triangle)=`(r*sqrt(3)/2*r)/2=r^2*sqrt(3)/2

Cela devrait être : `(r*sqrt(3)/2*r)/2=r^2*sqrt(3)/4

Amicalement, G. Lorang
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Re: Géométrie : Aire délimitée par 3 cercles

Message  carole le Lun 10 Jan - 20:22

J' ai redressé, mais j' ai également remarqué que j' avais déjà fait le même calcul ici :
http://lmrl-maths.forumactif.com/t20-geometrie-aire-comprise-entre-3-cercles-omb-maxi

En fait, il s' agit du même problème.
Il y a également un problème du questionnaire des OMB test d' entrainement 2010-2011 qui a déjà été résolu dans la rubrique MIDI.
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Oups !

Message  G. Lorang le Mar 11 Jan - 22:08

Je n'avais pas remarqué que j'avais posé le problème déjà une fois... lol!
Bien quand même pour la résolution ... 10 points cadeau supplémentaires.
Cordialement, G. Lorang
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