Algèbre : Un système classique

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Algèbre : Un système classique

Message  G. Lorang le Sam 4 Déc - 12:31

Si `a`, `b`, `c` et `d` sont des réels tels que :
`a^2+b^2=1`
`c^2+d^2=1`
`ac-bd=1/2`
trouver `ad+bc` !


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`sqrt(3)/2` ou `-sqrt(3)/2`

Message  carole le Mer 5 Jan - 17:01

Elevons d' abord la troisième équation au carré:

`(ac-bd)^2=(1/2)^2
`iff a^2c^2-2abcd+b^2d^2=1/4
`iff 2abcd=a^2c^2+b^2d^2-1/4 ` (*)
or:
`(ad+bc)^2=a^2d^2+b^2c^2+2abcd

remplaçons par (*):
`(ad+bc)^2=a^2d^2+b^2c^2+a^2c^2+b^2d^2-1/4
`iff (ad+bc)^2=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)-1/4
`iff (ad+bc)^2=1-1/4=3/4
`iff ad+bc=sqrt(3)/2` ou `ad+bc=-sqrt(3)/2
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Bravo !

Message  G. Lorang le Jeu 6 Jan - 14:15

Effectivement, il y a deux possibilités !
L'année prochaine tu pourras résoudre le problème encore une fois, en utilisant les nombres complexes ... Smile
20 points cadeau !!
Cordialement, G. Lorang
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