Géométrie : Aire d'un disque inscrit (OMB Maxi)

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Géométrie : Aire d'un disque inscrit (OMB Maxi)

Message  G. Lorang le Lun 4 Oct - 21:00

Quelle est la mesure (en centimètres carrés) de l'aire du disque inscrit dans un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l'angle droit mesurent 1 cm ?
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Aire du disque

Message  Paul le Jeu 6 Jan - 11:10

Soit ABC un triangle rectangle en A avec AB=1 cm et AC=1 cm
D'après le théorème de Pythagore, on en déduit que `BC= sqrt(2)` cm
La bissectrice qui passe par le sommet A est aussi la hauteur du segment [BC] car ABC est un triangle isocèle en A
Soit I le point d'intersection de la bissectrice de `/_ A` et du segment [BC].
On a `BI=IC = 0.5*BC = 0.5*sqrt(2)`.
Notons O le centre du cercle inscrit. On remarque que le triangle BIO est rectangle en I.
(BO = bissectrice de `/_ B` )
On applique la trigonométrie dans le triangle BIO, on obtient:
`tan(22.5°)= (OI)/(BI)`
`iff OI= BI*tan(22.5°)
De plus on constate que OI est le rayon du cercle inscrit.

D'où `Aire = pi*r^2 = (pi*(tan(22.5°))^2)/2 cm^2`

Paul
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Bravo !

Message  G. Lorang le Jeu 6 Jan - 14:35

Je me suis permis de corriger un peu ta rédaction.
Mets tes formules entre accents graves ... (voir mode d'emploi du forum ...)

C'est très bien, mais on peut aller encore plus loin !
Il y a une formule qui permet de calculer la valeur exacte de `tan(22.5°)` !
Est-ce que tu y arrives ??
Sinon, je peux aider ...

Il y a une deuxième façon de résoudre le problème très vite, sans utiliser la trigonométrie, mais seulement en calculant des aires de triangles ... Smile
Saurais-tu la trouver ????

Cordialement, G. Lorang
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tan(22,5°)

Message  Paul le Jeu 6 Jan - 18:23

`cos^2(x) = [1/2* (e^(ix) +e^(-ix))]^2 = 0,5*(cos(2x) +1)`

d'oû
`cos(x) = sqrt(2)/2*sqrt(cos(2x) +1)`
prenons `x= pi/8`
`cos(pi/8 ) = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(2)/2+1) =1/2*(sqrt(sqrt(2)+2))`
de même pour `sin(pi/8 )`
on trouve
`sin(pi/8 )= 1/2*sqrt(2-(sqrt(2)))` or `tan(x) = sin(x)/cos(x)`
en multipliant avec `sqrt(2-sqrt(2))/sqrt(2-sqrt(2))`
on obtient
`tan(pi/8 ) = sqrt(2)-1`

Où est-ce que je peux trouver le mode d'emploi du forum???

Paul
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Bien !

Message  G. Lorang le Jeu 6 Jan - 19:49

Le mode d'emploi est sur la 1re page du forum (clique sur accueil !)

Tu peux aussi utiliser le lien que voici ! http://lmrl-maths.forumactif.com/f10-mode-d-emploi-lisez-moi
Lis attentivement. Pour les formules t'as pris le mauvais symbole : accent grave <> apostrophe
L'accent grave est au-dessus du ^ sur le clavier.

J'ai encore corrigé.
Cordialement, G. Lorang
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suite de l'exercice

Message  Paul le Ven 7 Jan - 12:58

On a
`Aire = Pi/2*(sqrt(2)-1)^2 = Pi/2*(2-2*sqrt(2)+1)=Pi/2*(3-2*sqrt(2))`

Pouvez-vous me donner un indice pour trouver la solution en calculons seulement des aires des triangles??
Merci à l'avance.

Paul
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Aide !

Message  G. Lorang le Dim 9 Jan - 15:59

Tu trouves la formule et la démonstration ici : http://mathematiques.ac-dijon.fr/ressources/travaux_groupes/beaune_2008_2009/pb19.htm

Fais l'exercices sur cette page et tu comprendras !

Ensuite refais une solution de l'exercice que j'ai posé !

Cordialement, G. Lorang
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