Rayon du cercle inscrit d'un triangle rectangle

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Rayon du cercle inscrit d'un triangle rectangle

Message  G. Lorang le Ven 17 Juin - 8:35

Montrer que le rayon du cercle inscrit d'un triangle rectangle de cathètes (côtés de l'angle droit) `a` et `b` respectivement et d'hypoténuse `c` est :
`r=(a+b-c)/2`
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Re: Rayon du cercle inscrit d'un triangle rectangle

Message  carole le Lun 5 Sep - 11:38

Considérons le triangle ABC rectangle en C dans un repère orthonormé tel que C est l' origine de ce repère et les cathètes se trouvent respectivement sur les axes de ce repère. (Je résous par la géométrie analytique)



L' équation de la droite (AB) est
`(AB) -= y=-b/ax+b
ou bien `bx+ay-ab=0`
Les équations des droites (AC) et (BC) sont respectivement `x=0` et `y=0`.

Appelons le point d' intersection des bissectrices D (D est le centre du cercle inscrit du triangle).

Calculons les équations des bissectrices des droites (AB) et (AC):
`M(x';y') in (AD)
`iff d(M;(AB))=d(M;(AC))
`iff |x'|=(|bx'+ay'-ab|)/(sqrt(a^2+b^2))
(`sqrt(a^2+b^2)=|c|`)
`iff cx'=bx'+ay'-ab` ou `-cx'=bx'+ay'-ab`
`iff y'=(c-b)/ax'+b` ou `y'=-(c+b)/ax'+b
La première équation est à rejeter, car D est 'à l'intérieur' du triangle ABC.

La bissectrice des droites (AC) et (BC) dont on a besoin est `x=y`.

Comme D est le point d' intersection des bissectrices, il faut résoudre le système suivant pour calculer ses coordonnées:

`{(x=y);(y==-(c+b)/ax+b):}
`iff (a+b+c)x=ab
`iff x=(ab)/(a+b+c)

Or l' ordonnée de D est numériquement égal au rayon du cercle inscrit du triangle.
Il faut donc que `r=(ab)/(a+b+c)=(a+b-c)/2`.
`(ab)/(a+b+c)=(a+b-c)/2
`iff ab=((a+b+c)(a+b-c))/2
`iff ab=(a^2+ab+ac+ab+b^2+bc-ac-bc-c^2)/2
`iff ab=(2ab+a^2+b^2-c^2)/2

Or `a^2+b^2=c^2`
`iff ab=(2ab)/2

Ainsi on a bien montré que `r=(a+b-c)/2`.
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Bien !

Message  G. Lorang le Mar 6 Sep - 9:06

Chère Carole, je vois que tu déjà es en pleine forme en ce début d'année. Smile
Ta solution est correcte, seulement la formule `r=(2S)/(a+b+c)` où `S` est l'aire du triangle, est valable dans n'importe quel triangle et on peut la démontrer facilement sans utiliser la géométrie analytique, mais en raisonnant sur des aires. Est-ce que tu pourrais essayer de retrouver la formule de cette façon (avec figure) et de poster la réponse ci-dessous. C'est un raisonnement important pour les candidats des Olympiades mathématiques ... Smile
Cordialement, G. Lorang


Dernière édition par G. Lorang le Ven 9 Sep - 9:08, édité 1 fois
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Re: Rayon du cercle inscrit d'un triangle rectangle

Message  carole le Mar 6 Sep - 12:50

Montrons que `r=(ab*sin(gamma))/(a+b+c)`, où `S=ab*sin(gamma)`.
(Comme sin(90°)=1, la formule serait correcte pour le triangle rectangle)



`r=(ab*sin(gamma))/(a+b+c)
`iff ra+rb+rc=ab*sin(gamma)
`iff (ra)/2+(rb)/2+(rc)/2=(ab*sin(gamma))/2

Or `(ra)/2` est l' aire du triangle BCD, `(rb)/2` celle de ACD, `(rc)/2` celle de ABD et `(ab*sin(gamma))/2` est l' aire du triangle. Comme les triangles BCD,ABD et ACD forment ensemble le triangle ABC, la formule est correcte pour tous les triangles.

Voilà, j' espère que tout est correcte maintenant.



Dernière édition par carole le Mer 7 Sep - 8:33, édité 1 fois
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Bravo

Message  G. Lorang le Mar 6 Sep - 22:42

Bravo, 20 points cadeau !
Cordialement, G. Lorang
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