Aire d'une région

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Aire d'une région

Message  le_magicien le Lun 30 Avr - 20:33

On considère un cercle `\Gamma` de centre `O` et de rayon `r>0`. Soit `P` un point situé à une distance `d\in]0,r[` de `O`. Calculer (en fonction de `r` et de `d`) l'aire de la région constituée des points plus proches du point `P` que du bord du cercle `\Gamma`.

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Re: Aire d'une région

Message  carole le Lun 30 Avr - 21:09

Ceci n' est pas trop difficile...
La plus petite distance du point `P` au cercle vaut `r-d`, d' où la région qui renferme tous les points considérés est le disque de centre `P` et de rayon `r-d`.
L' aire de la région vaut `pi*(r-d)^2`.
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Re: Aire d'une région

Message  le_magicien le Lun 30 Avr - 22:10

Ce n'est pas juste : la région n'a pas cette forme là (à mon avis, tu as mal lu la question).

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Re: Aire d'une région

Message  carole le Mar 1 Mai - 8:30

Bien, je pense que j' ai compris le problème maintenant...
Il faut considérer les points M avec N le point d' intersection de `MP` avec `Gamma` tel que P et N sont situés de part et d' autre de M.
On veut que la distance `bar(MP)<=bar(MN)`, donc si `I=mil[PN]` alors `M in ]PI[ `.
Si P et O sont confondus, alors l' aire cherchée vaut `pi*r^2/4`.
Si ceci n' est pas le cas, alors on aura une ellipse de grand axe `2r-(r-d)/2-(r+d)/2=r` et de petit axe beaucoup plus compliqué...
Je ferai les calculs détaillés plus tard...


Dernière édition par carole le Mar 1 Mai - 10:29, édité 1 fois
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Re: Aire d'une région

Message  carole le Mar 1 Mai - 10:29

Alors j' essaye de m' y rapprocher par l' analytique...
Je recherche l' équation de la courbe qui délimite l' aire considérée.

Voici une figure pour r=5 et un certain point P:

Considérons le repère `(O,vec(i),vec(j))` tel que le rayon de `Gamma` est bien `r`.
Je ne considère que la partie avec les ordonnées positives, comme la figure admet `Ox` comme axe de symétrie.
Soit `P(d,0)` avec (`d in ]0,r[`)
Soit `c in [-r,r]` tel que `A(c,sqrt(r^2-c^2))` est sur le cercle.
Soit `M(x,y)=mil[AP]`

`M-={(x=(c+d)/2 (1) ) ,(y=sqrt(r^2-c^2)/2 (2)) :}

(1)`iff c=2x-d
dans `(2)`:
`y=sqrt(r^2-(2x-d)^2)/2

Or, l' aire délimitée par cette courbe et l' axe `Ox` est la moitié de l' aire qu' on cherche.
`Aire=int_(-r)^r sqrt(r^2-(2x-d)^2)dx
Voilà une jolie intégrale à résoudre, on peut très bien réunir nos deux cours de math du lycée! Smile

`int_(-r)^r sqrt(r^2-(2x-d)^2)dx
Posons `y=2x-d iff x=(y+d)/2`
`=int_(-2r-d)^(2r-d) sqrt(r^2-y^2)*2dy
`=2*int_(-2r-d)^(2r-d) sqrt(r^2-y^2)dy
J' admets qu' elle est assez compliquée (on n' a pas encore considéré des ellipses...)
Avec la V200, on trouve `Aire=(r^2*arcsin(|1/r|(2r-d)))/2+(r^2*arcsin(|1/r|(2r+d)))/2 +(2r+d)sqrt(-3r^2-4dr-d^2)/2+(2r-d)sqrt(-3r^2+4dr-d^2)/2
Oui, j' ai triché un peu, mais cela était trop compliqué...
Je suppose qu' il existe un réponse plus jolie Wink
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Re: Aire d'une région

Message  le_magicien le Mar 1 Mai - 22:38

carole a écrit:Bien, je pense que j' ai compris le problème maintenant...
Il faut considérer les points M avec N le point d' intersection de `MP` avec `Gamma` tel que P et N sont situés de part et d' autre de M.
On veut que la distance `bar(MP)<=bar(MN)`, donc si `I=mil[PN]` alors `M in ]PI[ `.
Un point `M` de la zone dont on cherche à calculer l'aire vérifie la relation ci-dessus. Mais tous les points vérifiant cette relation ne sont pas dans cette zone car le point `N` n'est pas le point de `Gamma` le plus proche de `M`. La zone dont il est question ci-dessus est donc trop grande.

En fait, le point de `Gamma` le plus proche de `M` est l'intersection du cercle `Gamma` avec la demi-droite d'origine `O` passant par `M`. Cela étant, je pose les deux questions suivantes.
1) Que vaut la distance du point `X` au point `O` (en fonction de `r` et de `|PX|`) lorsque le point `X` est équidistant du point `P` et du bord du cercle `Gamma` ?
2) Que peut-on en déduire sur la nature de la courbe constituée des points `X` équidistants de `P` et du bord du cercle `Gamma`? Very Happy


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Re: Aire d'une région

Message  carole le Mer 2 Mai - 16:42

À moins que je me suis trompée de nouveau, ceci devrait être correct, même si je n' ai pas précisé tous les calculs... (j' ai vérifié avec Geogebra en faisant une figure) Rolling Eyes
le_magicien a écrit:
En fait, le point de `Gamma` le plus proche de `M` est l'intersection du cercle `Gamma` avec la demi-droite d'origine `O` passant par `M`. Cela étant, je pose les deux questions suivantes.
1) Que vaut la distance du point `X` au point `O` (en fonction de `r` et de `|PX|`) lorsque le point `X` est équidistant du point `P` et du bord du cercle `Gamma` ?
2) Que peut-on en déduire sur la nature de la courbe constituée des points `X` équidistants de `P` et du bord du cercle `Gamma`? Very Happy

1)On peut trouver `|XO|=r-|XP| iff r=|XO|+|XP|` en considérant X tel que O, P et X sont alignés (j' avais mal défini mon point `N`, mais si O,P et X sont alignés mon calcul reste valable...)

2)Or ceci est bien une équation d' une ellipse (définition bifocale) de grand axe r et de foyers P et O.
La distance focale de cette ellipse vaut `|PO|`, le petit axe vaut `2sqrt((r/2)^2-(|PO|/2)^2)=sqrt(r^2-|PO|^2)
Mais je ne vois pas comment cela peut m' aider... Sad
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Re: Aire d'une région

Message  le_magicien le Mer 2 Mai - 17:01

Bah, tu as fini. Very Happy

Cette ellipse est le lieu dont on cherche l'aire et son aire vaut `{\pi\cdot r\cdot \sqrt{r^2-d^2}}/4` où `r` et `\sqrt{r^2-d^2}` sont les longueurs des axes (que tu as calculées).

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Re: Aire d'une région

Message  carole le Lun 21 Mai - 15:45

Je ne connaissais pas la formule pour calculer l' aire d' une ellipse avant...
C' est quand-même pas mal de la connaître: on l' avait à établir dans notre examen aujourd'hui Smile
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Re: Aire d'une région

Message  le_magicien le Mer 23 Mai - 10:07

Je suppose que tu procédé par intégration ? Very Happy

Est-ce qu'on voit l'intégration par changement de variables dans le plan (avec le Jacobien) en secondaire (à mon avis non, mais je ne sais plus) ? Si oui, on peut utiliser des coordonnées elliptiques (c'est comme des coordonnées polaires, mais avec des facteurs d'amortissement `a` et `b`) : on pose `x=a\cdot r\cdot \cos(\theta)` et `y=b\cdot r\cdot \sin(\theta)` où `r` et `\theta` sont les nouvelles coordonnées et où `a>0` et `b>0` sont les longueurs des demi-axes de l'ellipse.

Intégrer la fonction `1` sur la zone des points `(x,y)` à l'intérieur de l'ellipse d'équation `x^2/a^2+y^2/b^2=1` revient alors à intégrer la fonction `abr` (c'est normale de ne pas comprendre si la matière sur le Jacobien n'est pas au programme de secondaire) sur la zone des points `(r,\theta)` vérifiant les équations `0<\theta<2\pi` et `0<r<1` (c'est un simple rectangle dans le plan des nouvelles coordonnées ; c'est le Jacobien qui paie cette déformation). Et on trouve `\pi a b` comme réponse en échappant aux primitives de racines carrées. Very Happy

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Re: Aire d'une région

Message  carole le Mer 23 Mai - 10:30

C' était l' examen d' analyse. Je pense que la question était à peu près:
"Soit l' ellipse d' équation `x^2/a^2+y^2/b^2=1`. En vous inspirant du calcul de l' aire du cercle, calculez l' aire de cette ellipse!"
C' était bien sûr à faire avec l' intégration.
Le Jacobien n' est pas au programme, je pense...
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