Géométrie : Calcul d'une aire comprise entre des quarts de cercle

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Géométrie : Calcul d'une aire comprise entre des quarts de cercle

Message  G. Lorang le Mer 19 Mai - 15:48



Déterminer l'aire de la figure bleue, comprise entre les 4 quarts de cercle, inscrits dans le carré `ABCD` de côté 1.
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Re: Géométrie : Calcul d'une aire comprise entre des quarts de cercle

Message  carole le Lun 4 Oct - 17:45

Considérons le plan `(D,vec(DC),vec(DA))`
Soient E,F,G,et H les points d' intersection des quarts de cercles.
Alors `E(1/2;(2-sqrt(3))/2), F((sqrt(3))/2;1/2), G(1/2;(2-sqrt(3))/2)` et `H((2-sqrt(3))/2;1/2)`

Calculons d' abord l' aire du carré EFGH:
`Aire(carré)=EF^2=((sqrt(3))/2-1/2)^2+(1/2-(2-sqrt(3))/2)^2=2*(sqrt(3)-1)^2/4=2-sqrt(3)`

Calculons puis l' angle `hat(EDF)` à l' aide du théorème de Pythagore généralisé:
`EF^2=DF^2+DE^2-2*DE*DF*cos(hat(EDF))
`iff cos hat(EDF)=(DF^2+DE^2-EF^2)/(2*DE*DF)=sqrt(3)/2
`rArr hat(EDF)= (pi)/6

Calculons maintenant l' aire de l' arc circulaire EF:
Aire(arc)=`pi/12

Calculons encore l' aire du triangle DEF:
Aire(triangle)=`1/2*DE*DF*sin(pi/6)=1/4

Calculons enfin l' aire de la partie bleue:

`Aire=4*(Aire(arc)-Aire`(triangle)`)+Aire(carré)
`=4*(pi/12-1/4)+2-sqrt(3)
`=pi/3-sqrt(3)+1

J' espère que je ne me suis pas trompée quelque part. Laughing
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PARFAIT !!!! BRAVO !!!

Message  G. Lorang le Lun 4 Oct - 20:48

Très bien, 20 points cadeau pour toi.
Voici ma solution. J'espère qu'elle te plaît ... Very Happy



Avec les notations de la figure, on a le système :

`{(4x+4y+z=1),(3x+2y+z=pi/4),(2x+y+z=pi/3-sqrt(3)/4):}`
La 1re équation est obtenue en calculant l'aire du carré, la 2e en calculant l'aire d'un quart de cercle. La dernière équation est plus subtile. On calcule l'aire de la partie colorée en rosé, qui est la somme de deux secteurs circulaires d'angle `pi/3` et de rayon 1, dont il faut retrancher l'aire du triangle équilatéral DCE.

La solution du système peut être trouvée sans peine ... :
`x=1/12 (-12 + 6 sqrt(3) + pi)`
`y=1/12 (12 - 3 sqrt(3) - 2 pi)`
`z=1 - sqrt(3)+ pi/3`

Amicalement, G. Lorang

P.S: Merci à M. Claude Krack, qui a proposé ce problème.
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