Géométrie : Minoration d'un périmètre

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Géométrie : Minoration d'un périmètre

Message  G. Lorang le Dim 16 Mai - 16:19

Soit le triangle `ABC` avec `A(a,0)`, `B(0,b)`, `C(c,d)` dans un repère orthonormé et `a, b, c, d > 0`. Montrer que le périmètre de ce triangle est `>=2 *CO` (où O est l'origine du repère).
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Message  G. Lorang le Mar 8 Juin - 16:03

Utiliser le milieu M de [AB] ...
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Re: Géométrie : Minoration d'un périmètre

Message  carole le Mer 18 Mai - 17:41

Si C se retrouve à l' intérieur du triangle OAB, alors la propriété est évidente!

Si C appartient au segment `[AB]`, alors le périmètre du triangle vaut deux fois la distance AB, qui est plus grand que la distance de l' origine jusqu' à quelque point du segement `[AB]`.

Si on fait tendre A et B vers 0, alors le périmètre devient deux fois la distance OC.
Si on ne fait que tendre que A ou B vers 0, alors on a que le triangle ABC devient le triangle OAC par exemple. Dans ce cas il suffit de montrer que `OC<=OA+AC`. Or dans un triangle non-plat, cette propriété est évidente!


Soit M le milieu de [AB]:
Si C appartient à (OM):
`OM=AM=AB` et `OC=OM+MC
donc `2*OC=2*(OM+MC)=AM+MB+2MC=AB+2MC
dans ce cas il suffit de montrer que `2MC<=BC+AC

Si C se trouve à proximité de M, alors on peut facilement voir que la propriété est vérifiée.
`2MC<=BC+AC

Or MC est la médiane de C du triangle ABC et AC et BC sont les côtés "ajacents" à cette médiane.
Or la formule dite de la médiane dit que:
`4MC^2+AB^2=2BC^2+2AC^2
`iff2MC=sqrt(2BC^2+2AC^2-AB^2)

Je continuerai bientôt, je dois encore un peu réfléchir , je ne sais pas trop comment le faire... Wink
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Trop de cas ...

Message  G. Lorang le Ven 27 Mai - 17:01

On peut faire l'exercice avec un raisonnement universel, c-à-d qui marche dans tous les cas Smile
Je te laisse encore réfléchir un peu ...
Cordialement, G. Lorang
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Solution

Message  G. Lorang le Ven 17 Juin - 9:01

On place sur la figure le point `D` tel que `ACBD` est un parallélogramme et le milieu `M` de [AB].
D'après l'inégalité triangulaire :
`OC<=OM+MC`
`iff 2OC<=2OM+2MC`

Or :
1) Le triangle `OAB` est rectangle en `O`, donc `2OM=AB` (diamètre du cercle circonscrit)
2) `2MC=CD` est la diagonale du parallélogramme et d'après l'inégalité triangulaire : `CD<=CA+AD=CA+BC`

Donc : `2OC<=AB+AC+BC`

Cordialement, G. Lorang
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