Géométrie dans l'espace : Calcul d'un angle

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Géométrie dans l'espace : Calcul d'un angle

Message  G. Lorang le Ven 8 Oct - 9:14



Les points M, N et P sont les milieux des arêtes du cube représenté ci-dessus. Que vaut la mesure en degrés de l'angle `/_ NMP` ?
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L' angle cherché vaut 120°

Message  carole le Dim 24 Oct - 21:05



Considérons le cube dans l' espace dans un repère orthonormé

Les coordonnées des points N, M et P sont respectivement `(0,0,1/2)`,`(1/2,0,1)` et `(1,1/2,1).

Calculon les normes des vecteurs `vec(NM), vec(NP)` et `vec(MP)`:

ll`vec(NM)`ll`=sqrt((1/2)^2+0^2+(1-1/2)^2)=sqrt(2)/2

ll `vec(NP)`ll`=sqrt(1^2+(1/2)^2+(1-1/2)^2)=sqrt(6)/2

ll`vec(MP)`ll`=sqrt((1-1/2)^2+(1/2)^2+(1-1)^2)=sqrt(2)/2

Donc on sait que les côtés du triangle NMP mesurent respectivement `sqrt(2)/2,sqrt(2)/2` et `sqrt(6)/2`

À l' aide du théorème de Pythagore généralisé: (`alpha=hat(NMP)`)

`cos(alpha)=(MN^2+MP^2-NP^2)/(2*MN*MP)`
`=(1/2+1/2-3/2)/(2*1/2)
`=-1/2

D' où
`alpha= 120°

L' angle formé vaut donc 120°.
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WOW !

Message  G. Lorang le Mar 26 Oct - 6:17

Avec la belle figure que tu as faite c'est encore plus agréable à lire.
Je t'accorde 30 points cadeau (10 points de plus pour la figure Very Happy)

Voici une façon de faire l'exercice sans calculs : on peut prolonger le triangle `MNP` en un hexagone régulier, comme sur ma figure.
Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous égaux à 120°...

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