Théorème de Leibniz

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Théorème de Leibniz

Message  G. Lorang le Mar 27 Sep - 16:47

1) Prouver le théorème de Leibniz :
Soit `ABC` un triangle quelconque dont le centre de gravité est noté `G` et soit `P` un point du plan :
`PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2=3PG^2+1/3(AB^2+BC^2+CA^2)`
(Indication : utiliser le produit scalaire.)

2) Dans le cas d'un triangle équilatéral de côté `l`, déterminer (et caractériser) l'ensemble des points du plan tel que
`PA^2+PB^2+PC^2=c`, où `c` est une constante donnée. Quel est la valeur minimale possible pour `c` ? On demande de calculer cette valeur minimale en fonction de `l`.

3) Dans le cas d'un triangle quelconque, quel est l'ensemble des points tels que $ PA^{2}= PB^{2}+PC^{2} $ ?
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Re: Théorème de Leibniz

Message  carole le Mer 28 Sep - 15:31

Je commence par démontrer la relation `3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2=3PG^2+1/3(AB^2+AC^2+BC^2)`:

`3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2=3PG^2+1/3(AB^2+AC^2+BC^2)
`iff GA^2+GB^2+GC^2=1/3(AB^2+BC^2+AC^2)
`iff 3GA^2+ 3GB^2+3GC^2= (vec(AG)+vec(GB))^2+(vec(BG)+vec(GC))^2+(vec(AG)+vec(GC))^2
`iff 3GA^2+ 3GB^2+3GC^2=AG^2+2vec(AG)vec(GB)+GB^2+BG^2+2vec(BG)vec(GC)+GC^2+CG^2+2vec(AG)vec(GC)+GA^2
`iff GA^2+GB^2+GC^2+2vec(AG)vec(BG)+2vec(BG)vec(CG)+vec(AG)vec(CG)=0
`iff vec(AG)(vec(AG)+vec(BG)+vec(CG))+vec(BG)(vec(AG)+vec(BG)+vec(CG))+vec(CG)(vec(AG)+vec(BG)+vec(CG))=vec(0)
`iff (vec(AG)+vec(BG)+vec(CG))^2=vec(0)
Or `vec(AG)+vec(BG)+vec(CG)=vec(0)` (par définition)

Occupons-nous maintenant de `PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2`:

`PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2
`iff (vec(PG)+vec(GA))^2+(vec(PG)+vec(GB))^2+(vec(PG)+vec(GC))^2=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2
`iff PG^2+GA^2+PG^2+GB^2+PG^2+GC^2+2vec(PG)(vec(GA)+vec(GB)+vec(GC))=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2
Ici les termes à gauche et à droite se détruisent tous, exepté `2vec(PG)(vec(GA)+vec(GB)+vec(GC))` qui est nul (G est le centre de gravité).
`iff 0=0
q.e.d.
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Ok !

Message  G. Lorang le Mer 28 Sep - 19:54

Très bien pour le début !
Dans le 2e point tu dois utiliser le 1er ...
Cordialement, G. Lorang
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Re: Théorème de Leibniz

Message  carole le Mer 28 Sep - 20:31

J' avais oublié les autres points...
2) `PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+(AB^2+BC^2+AC^2)/3=c`
Or `AB=AC=BC=l`:
`c=3PG+l^2`
Comme `l` est une constante, `c` varie uniquement en fonction de `PG^2`.
Or `PG` est minimal si `P=G`
Alors `c=l^2`
Le troisième je le ferais plus tard...
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Re: Théorème de Leibniz

Message  carole le Jeu 29 Sep - 20:50

`PA^2=PB^2+PC^2
Or, si PA=BC, alors cette condition est vérifiée dans le triangle rectangle BCP.
Dans ce cas P appartient à l' ensemble d' intersection du cercle de centre A et de rayon BC et du cercle de diamètre BC.
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Point 2

Message  G. Lorang le Jeu 6 Oct - 5:47

Tu dois préciser l'ensemble des points `P` tels que `PA^2+PB^2+PC^2=c`
`c` est une constante donnée.

Donc :
`PA^2+PB^2+PC^2=c`
iff `3PG^2+l^2=c`
iff `GP^2=(c-l^2)/3`
iff `P` appartient au ...
à condition que ...
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Point 3

Message  G. Lorang le Jeu 6 Oct - 5:53

La résponse est un cercle ou l'ensemble vide !
(Tu dois chercher si possible le centre et le rayon, c'est un peu plus dur ... Smile)
Utilise le point 1.
Cordialement, G. Lorang
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point 2:

Message  carole le Lun 20 Fév - 15:08

G. Lorang a écrit:Tu dois préciser l'ensemble des points `P` tels que `PA^2+PB^2+PC^2=c`
`c` est une constante donnée.

Donc :
`PA^2+PB^2+PC^2=c`
`iff 3PG^2+l^2=c`
`iff GP^2=(c-l^2)/3`
`iff P` appartient au ...
à condition que ...

P appartient au cercle de centre `G` et de rayon `sqrt((c-l^2)/3)` à condition que `c>=l^2` (le rayon doit être positif).
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point 3 par la géométrie analytique

Message  carole le Mer 7 Mar - 19:35

J' essaie de résoudre par la géométrie analytique (je pense que cela est peut-être plus facile pour le début...).
Soient `A`, `B`, `C` trois points du plan.
Soit `L` l' ensemble des points `P` tels que `PA^2=PB^2+PC^2`:
`L={P|AP^2=BP^2+CP^2}
Soit un repère orthonormé `(A,vec(i),vec(j))` avec `vec(AB)=vec(i)`:
`A(0,0)`
`B(1,0)
`C(a,b)` avec `a,b in RR`

`P(x,y) in L
`iff x^2+y^2=(x-1)^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2
`iff x^2-2x-2ax+a^2+1 +(y-b)^2=0
`iff (x-(1+a))^2+(y-b)^2=(1+a)^2-1-a^2
`iff (x-(1+a))^2+(y-b)^2=2a
Il faut distinguer 3 cas:
`a>0`:
Ceci est l' équation du cercle de centre `Omega(1+a;b)` et de rayon `sqrt(2a)`.
L' angle en A est aigu.
`a=0`:
Le point `P(1;b)` est solution unique.
Si a=0, alors `ABC` est un triangle rectangle en A.
`a<0`:
L' angle en A est obtus.
L' équation n' admet pas de solution comme le terme à droite est positif et celui de gauche est négatif!
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Réponse analytique pour le point 2

Message  carole le Mer 28 Mar - 19:11

Il existe une réponse analytique au problème posé au point 2, si jamais il y a d' intéressés... Il suffit de consulter le corrigé de la question 4b) de l' examen de mathématiques I, section B, session juin 2011, il se trouve sur le serveur de mathématiques
http://www.lmrl.lu/mathematiques/

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