OMB-Midi Finale 2010

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OMB-Midi Finale 2010

Message  G. Lorang le Ven 25 Mar - 9:14

Question 1
Soit `ABCD` un carré. Sur les côtés `[AB]`, `[BC]` , `[CD]` et `[DA]`, on construit les points `A'`, `B'`, `C'` et `D'` de manière que `A A'=BB'=C C'=DD'` . Montrer que, quel que soit le point `P` choisi à l’intérieur du carré :
aire(`A A'PD'`)+aire(`C C'PB'`)=aire(`BB'PA'`)+aire(`DD'PC'`)

Question 2
Déterminer tous les nombres naturels `n`, carrés parfaits, tels que `n=7p+4`, où `p` est un nombre premier.

Question 3
Soit `m` et `n` deux nombres naturels tels que l’écriture décimale de `n` s’obtient en permutant les chiffres de l’écriture décimale de `m`.
(a) La somme des chiffres de `2m` est-elle la même que celle de `2n` ?
(b) La somme des chiffres de `3m` est-elle la même que celle de `3n` ?
(c) La somme des chiffres de `5m` est-elle la même que celle de `5n` ?
(d) Si `m` et `n` sont pairs, la somme des chiffres de `m/2` est-elle la même que celle de `n/2` ?

Question 4
Soit un carré `ABCD` de centre `E`. La droite `(CF)` est tangente au cercle de diamètre `[AB]`, en `F!=B`. Quel est le rapport des aires du triangle `BEF` et du carré `ABCD` ?
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Question 1

Message  Alain le Mar 19 Avr - 11:44

Faisons une figure:


Soit 1 l'aire d'un petit carré.
`A(A A'PD')=2+3 1/2=2+3/2`
`A(C C'PB')=3+3 1/2=3+3/2`
`A(BB'PA')=3+2 1/2+3 1/2=3+5/2`
`A(DD'PC')=2+1/2`
`A(A A'PD')+A(C C'PB')=A(BB'PA')+A(DD'PC')`
`iff 2+3/2+3+3/2=3+5/2+2+1/2`
`iff 8=8`

Quelque soit la position de `P` à l'intérieur de `ABCD`:
`A(A A'PD')+A(C C'PB')=A(BB'PA')+A(DD'PC')
Les aires des différentes parties du carré sont variables lors de la position de `P`, mais la formule est toujours correcte.
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Question 2

Message  Alain le Mar 19 Avr - 11:59

`n in NN^2 iff n=x^2`
`x^2=7p+4 iff x^2-4=7p iff (x-2)(x+2)=7p`
Si `x-2=7` et `x+2` est premier:
`x+2=11 iff x=9`
Si `x-2` est premier et `x+2=7`:
`x-2=3 iff x=5`
Il existe deux solutions pour le carré parfait `n`, si `n=7p+4`:
`n=5^2=25`
`n=9^2=81`
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Question 4

Message  Alain le Jeu 21 Avr - 12:25

Faisons une figure:


`H` est le centre du cercle de diamètre `(AB)`. Ajoutant le point `G` tel que `GE=GH` et `G in FB`. La droite `EF` coupe l'ordinate en `I` et en même temps en le point 4.
`A(ABCD)=2^2=4`
`A(BEF)=A(BGE)+A(GEF)`
`A(GEB)=(0,5*1)/2=1/4`
Les triangles `GEB` et `CGE` sont isométriques:
`A(CGE)=1/4`
Comme `A(EFI)=0`, logiquement:
`A(HFE)=3/2A(EFC)=3A(EFJ)`, ce qui donne:
`A(HFE)=3*0,1=0,3`
`A(GEF)=1/2A(HFE)=0,15`
`A(BEF)=0,25+0,15=0,4`
`(A(BEF))/(A(ABCD))=(0,4)/4=1/10`
Le rapport des aires du triangle `BEF` et du carré `ABCD` vaut `1/10`.
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Question 3

Message  Alain le Ven 22 Avr - 16:02

a) Soit `m=100a+10b+c` et `n=100b+10c+a`.
Soit `Delta(m)` les changements de la somme des chiffres de `m` pour chaque chiffre et `Delta(n)` les changements de la somme des chiffes de `n` pour chaque chiffre.
Chez `2m`:
`a<5 iff Delta(m)=a`
`a>=5 iff Delta(m)=a-(10-a)+1`
Même avec `b` et `c` et chez `2n`, si et seulement si `Delta(m)=Delta(n)`.
Les changements des sommes des chiffres chez `m` et `n`, donc les sommes des chiffres de `m` et `n` restent les mêmes, si `m` et `n` sont multipliés par 2.

b) Chez `3m`:
`a<=3 iff Delta(m)=2a`
`3<a<7 iff Delta(m)=3a-10-(a-1)`
`a>=7 iff Delta(m)=3a-20-(a-2)`
Même avec `b` et `c` et chez `2n`, si et seulement si `Delta(m)=Delta(n)`.
Les changements des sommes des chiffres chez `m` et `n`, donc les sommes des chiffres de `m` et `n` restent les mêmes, si `m` et `n` sont multipliés par 3.

c) Chez `5m`:
`a in 2NN iff Delta(m)=-a+a/2`
`a !in 2NN iff Delta(m)=-a+5+a div2`
Même avec `b` et `c` et chez `2n`, si et seulement si `Delta(m)=Delta(n)`
Les changements des sommes des chiffres chez `m` et `n`, donc les sommes des chiffres de `m` et `n` restent les mêmes, si `m` et `n` sont multipliés par 5.

d) Chez `m` et `n`, au moins deux chiffres sont multiples de 2, pour que `m` et `n` finissent avec un chiffre pair.
Supposons `m` et `n` ont deux chiffres pairs et un chiffre impair.
Chez `m/2` (`b` est impair):
`c iff Delta(m)=c+(10-c)/2`
` ab iff Delta(m)=-abdiv2-1`
Chez `n/2` (`b` est impair):
`a iff Delta(n)=-a`
`bc iff Delta(n)=-bc`
Les changements des sommes des chiffres de `m` et `n` ne sont pas égaux, donc il existe au moins un cas où les sommes des chiffres de `m/2` et `n/2` ne sont pas les mêmes.
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Re : Question 1

Message  G. Lorang le Sam 18 Juin - 11:17

Alain a écrit:Faisons une figure:
Quelque soit la position de `P` à l'intérieur de `ABCD`:
`A(A A'PD')+A(C C'PB')=A(BB'PA')+A(DD'PC')
Les aires des différentes parties du carré sont variables lors de la position de `P`, mais la formule est toujours correcte.

Tu démontres le résultat uniquement dans 1 cas (exemple) !
Tu dois faire les calculs avec des lettres pour que le raisonnement soit correct !
Cordialement, G. Lorang
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Re : Question 2

Message  G. Lorang le Sam 18 Juin - 11:20

Parfait ! Bravo ! 20 points cadeau
Cordialement, G. Lorang Very Happy
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Re : Question 4

Message  G. Lorang le Sam 18 Juin - 11:38

Tu as mal fait la figure. Le résultat est juste mais tes raisonnements ne sont pas clairs pour moi !
Par exemple tu n'expliques pas pourquoi G est le milieu de [HE] !
Alain a écrit:`A(GEB)=(0,5*1)/2=1/4`


Pour démontrer que ...
Alain a écrit:
`A(HFE)=3/2A(EFC)=3A(EFJ)`...
... je suppose que tu utilises le fait que la droite (EF) coupe l'axe des ordonnées en I(0,4) et tu utilises Thalès, mais tu ne démontres pas pourquoi I a comme ordonnée 4 !

Est-ce que tu peux refaire la question en raisonnant sur ma figure ci-dessous :



Dernière édition par G. Lorang le Sam 2 Juil - 8:29, édité 1 fois
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Réponse 4

Message  G. Lorang le Sam 2 Juil - 7:54

Je vais utiliser la formule : `aire(BEF)=1/2*BE*BF*sin/_EBF`
Je vais aussi utiliser le théorème de l'arc capable : voir http://serge.mehl.free.fr/anx/angl_inscr.html
Finalement j'utilise les formules de trigonométrie classiques, qui ne sont pas encore connues en 5e.
Pour le moment, c'est ma première solution, on peut certainement simplifier les choses ... Avis aux amateurs !

Bon, voilà pour la démarche et les préparations. On y va :

On suppose que `AI=IB=1`
Comme les tangentes `(CF)` et `(CB)` au cercle sont symétriques par rapport à `(CI)`, on a : `CF=BC=2` et `IF=IB=1` et .
D'après le théorème de Pythagore : `IC=sqrt(5)` et `BE=sqrt(2)`.
Comme `(FB)` est perpendiculaire à `(IC)`, on a d'après la relation d'Euclide (relation n°5 dans ce document) : `(BF)/2=(IF*CF)/(IC)=2/sqrt(5)`, donc `BF=4/sqrt(5)`.

Les triangles rectangles `ICF`et `ABF` sont semblables car d'après le théorème de l'arc capable : `/_ICF=/_IBF`.
Donc : `(FH)/(AB)=(FB)/(2*IC) iff (FH)/(AB)=2/5 iff FH=4/5`.

Il reste à calculer `sin alpha`, où `alpha=/_EBF`. Posons `beta=/_EIF` et `gamma=/_FIH`.
Comme l'angle au centre est le double de l'angle inscrit : `beta=2alpha`.
Or `sin gamma=(FH)/(FI)=4/5`, donc `cos gamma = sqrt(1-sin^2 gamma))=3/5` et `sin beta= cos gamma = 3/5` (angles complémentaires).
Finalement : `sin^2 alpha=1/2(1-cos 2 alpha)=1/2*(1-4/5)=1/10 iff sin alpha=1/sqrt(10)
Par conséquent :
`aire(BEF)=1/2*BE*BF*sin/_EBF=1/2*sqrt(2)*4/sqrt(5)*1/sqrt(10)=4/10`
Ainsi le rapport cherché est : `(aire(BEF))/(aire(ABCD))=4/10*1/4=1/10`


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Re: OMB-Midi Finale 2010

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