OMB-Midi Finale 2007

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OMB-Midi Finale 2007

Message  G. Lorang le Ven 25 Mar - 10:02

Question 1
Le chiffre des unités du nombre naturel `N` est `x`. On effectue successivement les opérations suivantes :
- supprimer le chiffre des unités `x` du nombre `N`;
- retrancher `2x` du nombre obtenu.
Par exemple, le nombre 203 devient 20, puis 14.
Est-il toujours vrai que le nombre final est un multiple de 7 si et seulement si le nombre initial `N` est un multiple de 7 ?

Question 2
(a) Trouver tous les couples d'entiers strictement positifs dont la somme est égale au produit. Prouver qu'il n'en existe pas d'autres.
(b) Trouver tous les triplets d'entiers strictement positifs formant une suite arithmétique dont la somme est égale au produit. Prouver qu'il n'en existe pas d'autres.
(La suite `(a,b,c)` est appelée suite arithmétique lorsqu'il existe un entier `r` tel que `b=a+r` et `c=b+r`)
(c) Que devient la réponse au point (b) si la suite arithmétique est formée d'entiers quelconques (positifs, négatifs ou nuls) ?

Question 3
Le triangle `ABC` est rectangle avec `/_ABC` mesurant 90°. Le pied de la hauteur relative à l'hypoténuse est `D` et les pieds des perpendiculaires abaissées de `D` respectivement sur `[BA]` et `[BC]` sont `E` et `F`. Soient `r_1`, `r_2` et `r_3` les rayons des cercles inscrits aux triangles `AED`, `EDF` et `FDC` respectivement. La formule `r_2=sqrt(r_1*r_3)` est-elle toujours correcte ?

Question 4
Déterminer tous les nombres entiers `a`, `b` tels que `(a+b)^n=a^n+b^n`
(a) pour `n=2`;
(b) pour `n=3`;
(c) pour `n>3`.



Dernière édition par G. Lorang le Dim 24 Avr - 20:46, édité 1 fois
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Question 1

Message  Alain le Mar 12 Avr - 18:59

Soit `a` la partie de `N` sans le chiffre des unités. Donc la proposition est:
`a-2x in 7ZZ iff N in 7ZZ`
`a-2x=0 iff 2x=a`
Exemples: `(0;21;42;63;...)=21ZZ in 7ZZ`(1)
`a-2x=±7 iff 2x=a±7`
Exemples: `(14;35;56;77;...) in 7ZZ`(2)
`a-2x=±14 iff 2x=a±14`
Exemples: `(7;28;49;...) in 7ZZ`(3)
Si `a-2x=±21`, alors on applique à nouveau l'opération et on obtient 0 comme nombre final. Finalement, (1) montre que `N in 7ZZ`.
Si `a-2x=±28`, alors on applique à nouveau l'opération et on obtient -14 comme nombre final. Finalement, (3) montre que `N in 7ZZ`.
Si `a-2x=±35`, alors on applique à nouveau l'opération et on obtient -7 comme nombre final. Finalement, (2) montre que `N in 7ZZ`.
...
Donc, `a-2x in 7ZZ iff N in 7ZZ`
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Question 2

Message  Alain le Dim 17 Avr - 15:30

a) Soit `x<=y`
`x+y=xy`
Si `x=0`:
`y=0`
Si `x=1`:
`1+y=y` ce qui n'est pas possible.
Si `x=2`:
`2+y=2y iff y=2(y-1) iff y=2`
Si `x>2`:
`x+y=xy iff y=x(y-1)`
Cette équation n'admet pas de solution.
Les couples d'entiers strictement positifs dont la somme est égale au produit sont (0;0) et (2;2).

b) Soit `x<=y<=z`
`x+y+z=xyz`
Si `x=0`:
`y+z=0 iff y=z=0`
Si `x=1`:
`1+y+z=yz`
Comme (2;2) est le plus grand couple dont la somme est égale au produit: `z>2`
En effet:
`1+2+3=1*2*3`
Si `x>3`:
`x+y+z=xyz iff x(yz-1)=y+z` mais `x(yz-1)>y+z`
Les triplets d'entiers strictement positifs dont la somme est égale au produit sont (0;0;0) et (1;2;3), lesquelles forment tous les deux une suite arithmétique.

c) Si `y=0` et `x=y-r` et`z=y+r`
`-r+0+r=0yz=0`
Si `x in ZZ` et `y in ZZ` et `z in ZZ`, il existe une infinité de triplets formant une suite arithmétique dont la somme est égale au produit.
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Question 4

Message  Alain le Dim 17 Avr - 15:56

a) `(a+b)^2=a^2+b^2`
`iff a^2+2ab+b^2=a^2+b^2`
`iff 2ab=0 iff ab=0`
Il existe une infinité de couples (a;b) tel que `(a+b)^2=a^2+b^2`, si et seulement si `a=0` où `b=0`.

b) `(a+b)^3=a^3+b^3`
`iff a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3`
`iff 3ab(a+b)=0 iff a+b=0`
Il existe une infinité de couples (a;b) tel que `(a+b)^3=a^3+b^3`, si et seulement si `a+b=0`.

c) Pour tout entier impair `n`:
`(a+b)^n=a^n+b^n iff a+b=0`
Démonstration: Soit `a=-x` et `b=x`:
`(-x+x)^n=(-x)^n+x^n=-x^n+x^n=0`
Pour tout entier pair `n`:`
`(a+b)^n=a^n+b^n iff ab=0`
Démonstration: Si `ab=0`, alors `a=0`où `b=0`
Si `a=0`:
`(0+b)^n=0^n+b^n=b^n`
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Question 3

Message  Alain le Lun 18 Avr - 18:23

Faisons une figure:


Les triangles `AED` et `EDF` sont isométriques: `r_1=r_2`
Ainsi `r_2=sqrt(r_1*r_3) iff r_1=r_2=r_3`
Le triangle `FDC` a un plus petit périmètre et un plus petit aire que les triangles `AED` et `EDF`:
`r_3<r_2` et `r_3<r_1`
Donc la formule `r_2=sqrt(r_1*r_3)` n'est pas toujours vraie.

Il existe un seul cas, où la formule est correcte: chez le triangle rectangle isocèle.


Le trianlges `AED`, `EDF` et `FDC` sont isométriques:
`r_1=r_2=r_3 iff r_2=sqrt(r_1*r_3)` car `r_2^2=r_1*r_3`
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Concerne : réponse à la question 1

Message  G. Lorang le Dim 24 Avr - 18:42

Ta réponse n'est pas claire. J'ai l'impression que tu travailles seulement avec des exemples !
Ton premier cas est celui des entiers multiples de 21, mais par exemple pour 210 on n'a pas `a=2x` ...

Voici ma réponse :
Soit `N=10a+x` Il faut démontrer que `N in 7ZZ iff a-2x in 7ZZ`
Or :
`10a+x in 7ZZ`
`iff 2*(10a+x) in 7ZZ` (Astuce ... ! Smile )
`iff 20a+2x in 7ZZ`
`iff 20a+2x-21a in 7ZZ` (car `21a in 7ZZ`)
`iff -a+2x in 7ZZ`
`iff a-2x in 7ZZ`
CQFD
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Concerne : réponse à la question 2

Message  G. Lorang le Dim 24 Avr - 18:55

La plupart de ce que tu écris est correct. Certaines affirmations ne sont pas encore complètement justifiées.
20 points cadeau pour toi ! Smile

(a) Les solutions doivent être strictement positives, donc (0,0) est à exclure !
Sinon ta solution est correcte.

On peut aussi raisonner comme ceci :
Comme `a!=0` et `b!=0` on peut écrire :
`a+b=ab`
`iff (a+b)/(ab)=1`
`iff 1/a+1/b=1`
Si `a>2` alors `1/a<1/2` et donc il faudrait que `1/b>1/2`, donc `b=1`, impossible.
On a donc nécessairement `a<=2` et `b<=2`.
Or la seule solution possible avec ces conditions est (2,2).

(b) Tu ne démontres pas vraiment que (1,2,3) et (3,2,1) sont les seules solutions.
Voici ma solution :

Les trois nombres cherchés sont `a`, `a+r` et `a+2r`.
Quitte à changer l'ordre des trois entiers, on peut supposer `r>=0`.
Donc `a+a+r+a+2r=a(a+r)(a+2r)`
`iff 3(a+r)=a(a+r)(a+2r)`
`iff a+r=0` ou `3=a(a+2r)`

Le cas `a+r=0` est impossible car `a>0` et `r>0`.
Donc, puisque `r>0`, on a : `a=1` et `a+2r=3`, càd : `a=1`et `r=1`
Les triplets cherchés sont donc (1, 2,3) et (3,2,1) si la raison est négative.
Et il n'y a pas d'autres solutions.

(c) Tu oublies la solution (-3,-2,-1) ainsi que (-1,-2,-3).

On peut toujours supposer `r>=0`.
Si les entiers peuvent être négatifs, le cas `a+r=0` est possible : `a=-r, b=0 et c=r`.
De plus, l'égalité `3=a(a+2r)` peut avoir lieu encore si `a=-3` et `a+2r=-1` càd `a=-3` et `r=1`
Les triplets solutions supplémentaires par rapport à (b) sont donc tous les triplets de la forme : `(-r,0,r)`, `(r,0,-r)` et (-3,-2,-1) ainsi que (-1,-2,-3).

Cordialement, G. Lorang



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Concerne : réponse à la question 4

Message  G. Lorang le Dim 24 Avr - 20:39

(a) Ok
(b) Tu oublies le cas `a=0` ou `b=0`.
(c) Tu oublies le cas `a=0` ou `b=0` lorsque `n` est impair.
Tu vérifies seulement les solutions que tu as trouvées, mais il faut encore prouver qu'il n'y en a pas d'autres

L'énoncé correct est donc :
1) Si n est pair alors : `(a+b)^n=a^n+b^n iff a=0` ou `b=0`
2) Si n est impair alors : `(a+b)^n=a^n+b^n iff a=0` ou `b=0` ou `a+b=0`

Voici ma démonstration :
La solution `a=0` ou `b=0` est évidente, indépendamment de la parité de `n`.
Y a-t-il d'autres solutions ? Supposons dans la suite `a!=0` et `b!=0`.
On peut donc diviser l'équation par `b^n`. En posant `r=a/b` l'équation devient alors :
`(1+r)^n=1+r^n`

1er cas : `r>0`, càd a et b ont même signe !
Or on sait que `(1+r)^n>1+r^n` (en utilisant la formule du binôme de Newton, à rechercher sur Wikipedia), donc ce cas est impossible !
Il n'y a donc pas solutions supplémentaires telles que a et b ont le même signe.

2e cas : `r<0` càd a et b sont de signes contraires.
Alors nous posons : `r=-t`, avec `t>0`. On peut supposer que `0<t<=1`, càd a est en valeur absolue plus petit que b.
(Sinon, au lieu de diviser l'équation initiale par `b^n`, on la divise par `a^n`.
L'équation devient :
`(1-t)^n=1+(-t)^n` avec `0<t<=1`
a) Si `n` est pair l'équation se simplifie en `(1-t)^n=1+t^n`. Or ceci est impossible puisque le membre de gauche est `<1` alors que le membre de droite est `>1`.
Donc si n est pair, il n'y a pas d'autres solutions à l'équation.
b) Si `n` est impair, alors l'équation devient :
`(1-t)^n=1-t^n` avec `0<t<=1`
`iff (1-t)^n=(1-t)(1+t+t^2+...+t^(n-1))` (Formule célèbre, à connaître pour la finale mercredi)
`iff 1-t=0` ou `(1-t)^(n-1)=1+t+t^2+...+t^(n-1)`
Or la 2e équation est impossible car le membre de gauche est `<1` alors que le membre de droite est `>1`.
Donc si n est impair, il faut que `t=1` càd `r=-1`, càd `a=-b` ou encore `a+b=0`
Ceci démontre les deux propositions de l'énoncé.

Cordialement, G. Lorang


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Concerne : réponse à la question 3

Message  G. Lorang le Dim 24 Avr - 20:49

Tu as mal fait la figure ! L'angle droit est en B !!
Smile
Réessaye encore une fois ...
Cordialement, G. Lorang
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Re: Question 3

Message  Alain le Lun 25 Avr - 17:25

Faisons une figure:


Soit `x_n` le rapport de `r_n` à la longueur du plus petit côté du triangle dont le rayon du cercle inscrit est `r_n` et `y_n` le rapport de la longueur du côté de la deuxième plus longue à la longueur du plus petit côté du triangle dont le rayon du cercle inscrit est `r_n`.
Soit `AE=1`:
`r_1=x_1`
`r_2=y_1*x_2`
`r_3=y_1*y_2*x_3`
`r_2=sqrt(r_1*r_3) iff y_1*x_2=sqrt(x_1*y_1*y_2*x_3)`
Les triangles `AED`, `EDF` et `FDC` sont semblables:
`x_1=x_2=x_3` et `y_1=y_2=y_3`
`iff y_1*x_2=sqrt(x_1*y_1*y_2*x_3) iff r_2=sqrt(r_1*r_3)`
Donc on a démontré que la formule est toujours correcte.
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Trrrrrrrrrès bien !

Message  G. Lorang le Mar 26 Avr - 8:49

Ta solution est très élégante ! Mes félicitations. 20 points cadeau !!! Very Happy
J'aurai probablement jonglé avec la formule qui donne le rayon du cercle inscrit d'un triangle rectangle :
`r=(a+b-c)/2` où a,b et c sont les longueurs des trois côtés et c est l'hypoténuse.
Saurais-tu démontrer cette belle formule ? (Fais une figure ...)
Cordialement, G. Lorang
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Re: OMB-Midi Finale 2007

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