OMB-Midi Finale 2012

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OMB-Midi Finale 2012

Message  carole le Jeu 26 Avr - 16:32

Le questionnaire MIDI de hier, avis aux amateurs Smile
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Question 4

Message  Alain le Sam 28 Avr - 16:44

a) Le périmètre du triangle vaut: `29+29+40=98`

L'aire du triangle se calcule à l'aide de la formule de Héron.
Soit `p` la moitié du périmètre du triangle (=49), `a` la longueur des deux côtés de même longueur et `b` celle du troisième côté, alors:
`Aire=sqrt(p(p-a)^2(p-b))`
`=sqrt(49(20)^2(9))`
`=420

b) D'après la formule de Héron, un triangle isocèle a un aire de 420 et un périmètre de 98, alors:
`sqrt(49(49-a)^2(49-b))=420`
`iff 49(49-a)^2(49-b))=176400`
`iff (49-a)^2(49-b)=3600`

Il s'en suit que la valeur de `(49-a)^2`peut être 1, 4, 9, 16, 25, 36, 100, 144, 225, 400 ou 900, 3600, mais les solutions de 1 jusqu'à 36 ne sont pas possibles, sinon `b` devrait être négatif. On a alors les cas suivants:

`(49-a)^2=100 iff a=39` et `49-b=36 iff b=13`
`(49-a)^2=144 iff a=37` et `49-b=25 iff b=24`
`(49-a)^2=225 iff a=34` et `49-b=16 iff b=33`
`(49-a)^2=400 iff a=29` et `49-b=9 iff b=40` (c'était déjà la solution dans a))
`(49-a)^2=900 iff a=19` et `49-b=4 iff b=45`
`(49-a)^2=3600 iff a=-11` (impossible)

La deuxième solution est la seule où le périmètre du triangle est égale à `2*37+24=98`. Donc le triangle isocèle avec deux côtés de longueur 37 et un de longueur 24 est le seul ayant même aire et même périmètre.
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Question 1

Message  Alain le Sam 28 Avr - 16:59

Si `a` peut s'écrire sous la forme `3n+1` et `b` peut s'écrire `3n+2`, on a le cas suivant:
`2/3((3n+1)^2+(3n+1)(3n+2)+(3n+2)^2)`
`=2/3(9n^2+6n+1+9n^2+6n+3n+2+9n^2+12n+4)`
`=2/3(27n^2+27n+7)`

Or, ce nombre n'est pas divisible par 3, car:
`27n^2+27n+7=3(9n^2+9n+2)+1`
Donc deux tiers de ce nombre ne sont pas un entier.

On arrive au même résultat si on échange les valeurs `3n+1` et `3n+2` entre `a` et `b`.

Alors on a prouvé que `2/3(a^2+ab+b^2)` n' est pas toujours somme de deux ou trois carrés d'entiers, puisque cette somme est toujours égale à un nombre entier.
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Question 1

Message  carole le Sam 28 Avr - 17:06

La première question était mal formulée, donc ta réponse est fausse, Alain.
Il faut comprendre que `(a-b)=3*k` où k est un entier.
C' est la différence de a et b qui est un multiple de 3...
Tu ne pouvais pas le savoir, car je n' avais pas fait cette remarque tout de suite, il faudrait refaire les calculs...
Il y a eu assez de participants qui l' ont également mal compris, alors ils ont fait une remarque lors de la compétition.
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Question 1

Message  Alain le Dim 29 Avr - 20:43

Merci pour la remarque, Carole.

Ainsi, la solution du problème est la suivante:

a) Non.

Soit `a=4` et `b=1` (`(a-b)` est un multiple de 3).
On a alors: `2/3(a^2+ab+b^2)`
`=2/3(16+4+1)`
`=14`

Mais le nombre 14 ne peut pas s'écrire sous la forme d'une somme de deux carrés, on a trouvé un contre-exemple.
`2/3(a^2+ab+b^2)` n'est pas toujours somme de deux carrés d'entiers.

b) Oui.

Démontrons d'abord que `a^2+ab+b^2` est toujours divisible par 3 pour tous les entiers `a` et `b` tel que `(a-b)=3k` ou `k` est un entier. Si `a=3x+z` et `b=3y+z`, ou `z` appartient à l'intervalle `(1;2)` on a:

`(3x+z)^2+(3x+z)(3y+z)+(3y+z)^2`
`=9x^2+6xz+z^2+9xy+3xz+3yz+z^2+9y^2+6yz+z^2`
`=3(3x^2+3xz+3yz+3yx+3y^2+z^2`
ce qui est un multiple de 3.

Ce nombre est somme de trois carrés d'entiers si et seulement si `6(a^2+ab+b^2)` est également somme de trois carrés d'entiers, puisque chaque nombre carré est multiplié par 9, un carré parfait, alors tous les carrés restent des carrés.

`6(a^2+ab+b^2)=6a^2+6ab+6b^2`
`=4a^2+4ab+b^2+4b^2+4ab+a^2+a^2-2ab+b^2`
`=(2a+b)^2+(2b+a)^2+(a-b)^2)`

On a démontré que `2/3(a^2+ab+b^2)` est somme de trois carrés pour tous les entiers qui différent d'un multiple de 3.
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Re: OMB-Midi Finale 2012

Message  le_magicien le Dim 29 Avr - 22:39

Alain a écrit:a) Non.

Soit `a=4` et `b=1` (`(a-b)` est un multiple de 3).
On a alors: `2/3(a^2+ab+b^2)`
`=2/3(16+4+1)`
`=14`

Mais le nombre 14 ne peut pas s'écrire sous la forme d'une somme de deux carrés, on a trouvé un contre-exemple.
`2/3(a^2+ab+b^2)` n'est pas toujours somme de deux carrés d'entiers.

C'est très bien. Very Happy

Alain a écrit:
b) Oui.

Démontrons d'abord que `a^2+ab+b^2` est toujours divisible par 3 pour tous les entiers `a` et `b` tel que `(a-b)=3k` ou `k` est un entier. Si `a=3x+z` et `b=3y+z`, ou `z` appartient à l'intervalle `(1;2)` on a:

`(3x+z)^2+(3x+z)(3y+z)+(3y+z)^2`
`=9x^2+6xz+z^2+9xy+3xz+3yz+z^2+9y^2+6yz+z^2`
`=3(3x^2+3xz+3yz+3yx+3y^2+z^2`
ce qui est un multiple de 3.

C'est très bien d'avoir vérifier qu'on avait bien un nombre entier. Very Happy
Petits détails :
- n'oublie pas de fermer la parenthèse ;
- `z` appartient à l'ensemble `{0;1;2}`.

Alain a écrit:
Ce nombre est somme de trois carrés d'entiers si et seulement si `6(a^2+ab+b^2)` est également somme de trois carrés d'entiers, puisque chaque nombre carré est multiplié par 9, un carré parfait, alors tous les carrés restent des carrés.

Attention, cette justification n'est pas bonne. Il est clair que si le nombre `\frac{2}{3}(a^2+ab+b^2)` est somme de trois carrés d'entiers, alors le nombre `6(a^2+ab+b^2)` l'est aussi, et la raison invoquée est correcte. Mais, la raison invoquée ne permet pas de dire que la réciproque est vraie car le nombre `6(a^2+ab+b^2)` pourrait se décomposer en une somme de trois carrés qui ne sont pas des multiples de `9`.

Alain a écrit:
`6(a^2+ab+b^2)=6a^2+6ab+6b^2`
`=4a^2+4ab+b^2+4b^2+4ab+a^2+a^2-2ab+b^2`
`=(2a+b)^2+(2b+a)^2+(a-b)^2)`

C'est bien décomposé, mais à cause de l'erreur du paragraphe précédent, cela ne permet pas de conclure.

********************

Suggestion :

Plutôt que d'écrire `a=3x+z` et `b=3y+z` (ce qui est néanmoins correct), il est techniquement plus aisé d'écrire `a=b+3k` (ou `k` est un entier (éventuellement négatif)) et de garder `b` tel qu'il est. Ainsi, on n'a que deux variables au lieu de trois et c'est plus simple techniquement. Tu peux exprimer le nombre `2/3(a^2+ab+b^2)` en fonction de `b` et `k` (la fraction va disparaître), puis chercher une décomposition sous la forme d'une somme de trois carrés. Very Happy

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