OMB-Midi Finale 2006

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OMB-Midi Finale 2006

Message  G. Lorang le Ven 25 Mar - 11:45

Question 1
Par le sommet `A` du triangle `ABC`, on mène une droite `d`.
Les pieds des perpendiculaires abaissées de `B` et de `C` sur `d` sont respectivement `D` et `E`.
Le point `M` étant le milieu de `[BC]`, démontrer que `MD=ME`.

Question 2
Un tableau de nombres est construit de la manière suivante : chaque case est repérée par son numéro de ligne et son numéro de colonne. La ligne 1 commence par 2006 et pour passer du nombre inscrit dans la colonne `k` au nombre inscrit dans la colonne `k+1`, on soustrait 1. La ligne 2 commence par 2005 et on soustrait à chaque fois 2. La ligne 3 commence par 2004 et on soustrait à chaque fois 3. Et ainsi de suite.
(a) Quel est le nombre inscrit en ligne 10, colonne 20 ?
(b) Dans quelles cases le nombre 0 figure-t-il ? Expliquer votre réponse.
(c) Si le nombre figurant dans le tableau en ligne 1, colonne 1 est `n`, comment déterminer, en fonction de `n`, les cases où figure le nombre 0 ?

Question 3
Trois nombres dont le produit vaut 1 sont tels que leur somme est égale à la somme de leurs inverses.
(a) Donner un exemple numérique où les trois nombres sont différents.
(b) Est-il vrai qu'au moins un des nombres vaut toujours 1 ? Si oui, le démontrer, si non, donner un contre-exemple.

Question 4
Dans la cible dessinée ci-dessous, il n'y a que deux régions, l'une à 4 points et l'autre à 9 points. Lorsqu'on lance plusieurs flèches successivement, le score est la somme des points marqués dans les régions où les flèches ont abouti.

(a) Existe-t-il des nombres naturels qui ne s'obtiennent pas comme des scores ? Quel est, s'il existe, le plus élevé d'entre eux ?
(b) Certains nombres naturels peuvent être obtenus comme des scores au moins de deux manières différentes. Quel est le plus petit à partir duquel tous les scores suivants peuvent être obtenus au moins de deux manières ?
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Question 1

Message  Alain le Sam 26 Mar - 15:26

Faisons une figure :

Constatons que la droite `(DB)` est l’image de `(EC)` par rapport au centre de symétrie `M` , donc si une droite passant par `M` coupe `(DB)` en `D'` et `(EC)` en `E'` alors on a : `MD'=ME'`. En effet, `s_M(D')=E'`, donc `M` est le milieu de `[D'E']` (1).

Ajoutons les points `F` et `G` sur la figure tels que `/_EFM=90°` et `/_MGD=90°` et `F in (EC)` et `G in (DB)`.
`DEFG` est donc un rectangle. D’après (1): `[GF]` admet comme milieu `M` et `MG=MF` (2).

Les triangles `DGM` et `EFM` sont rectangles et isométriques (les deux côtés de l'angle droit ont même longueur), donc `MD=ME`.
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Dim 27 Mar - 20:26

Cher Alain,
Tu as très bien fait ! L'idée d'ajouter les points `F` et `G` sur la figure m'a plu beaucoup !
J'ai un peu simplifié la rédaction du problème, sans changer pour autant les idées de ta démonstration.

Ce que tu dois savoir :
a) Deux triangles sont isométriques lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Il existe plusieurs critères qui permettent de conclure que deux triangles sont isométriques. Regarde par exemple ici : http://etablissements.ac-amiens.fr/0801900f/IMG/pdf/chapitre_7_triangles_isometriques_et_semblables.pdf. Le théorème de Pythagore permet de dire que deux triangles rectangles sont isométriques lorsque les deux côtés de l'angle droit ont même longueur. (Les deux hypoténuses ont alors également la même longueur.)

b) Deux triangles sont semblables lorsque les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles. Dans cet exercice on n'a pas besoin de parler de triangles semblables.

Clique aussi sur Editer le sujet pour voir comment j'ai corrigé certaines de tes formules. (Tu te fatigues un peu avec les accents graves ... Il suffit de mettre un accent grave au début d'une formule et un à la fin.)

Voilà, j'espère que j'ai pu t'aider. Bon courage pour la suite !
Cordialement, G. Lorang

P.S : 20 points cadeau pour toi Smile
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Question 2

Message  Alain le Dim 3 Avr - 15:35

a) La ligne 10 commence par `2006-(10-1)=1997`
Le nombre dans la case de la ligne 10 et de la colonne 20 est donc : `1997-10(20-1)=1807`

b) Construisons d'abord une formule pour obtenir un nombre quelconque `x` dans ce tableau, où `l` et le numéro de la ligne et `k` le numéro de la colonne. Le premier nombre dans la ligne `l` est:
`2006-(l-1)=2007-l`
On obtient le nombre de la colonne `k` dans la ligne `l` en soustrayant `l(k-1)` du premier nombre de la ligne, alors:
`x=2007-l-l(k-1)=2007-lk`
Exemple avec a): `x=2007-10*20=1807`
Si `x=0`: `0=2007-lk iff lk=2007`
`2007=3^2*223`
Ainsi, on trouve le 0 dans les cases suivantes:
`l=1` et `k=2007`
`l=3` et `k=669`
`l=9` et `k=223`
`l=223` et `k=9`
`l=669` et `k=3`
`l=2007` et `k=1`

c) Même procédure en remplaçant 2006 par n : il s'agit de trouver les solutions (l,k) de l'équation : `n+1=lk`
Il faut donc déterminer les diviseurs de `n+1` et pour chaque diviseur `l` trouvé, on calcule `k=(n+1)/l`
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Jeu 7 Avr - 10:34

Encore un problème de finale résolu !
20 points cadeau pour toi !
J'espère que tu profites des vacances pour t'entraîner ... Smile
(Je suis absent jusqu'au 22 avril.)
Cordialement, G. Lorang
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Question 4

Message  Alain le Ven 8 Avr - 18:00

a) Si un entier positif n peut s'obtenir comme un score, alors `n=9a+4b`
où a et b sont des entiers positifs.
Tout `n>=18` et pair est un score possible. En effet :
Si `n in 4ZZ` alors il est clair que `n=4b` est un score possible
Si `n in 2ZZ-4ZZ` alors `n` est de la forme `2*(2x+1)`.
`2(2x+1)=9*2+4b`
`iff 2(2x- 8 )=4b`
`iff 4(x-4)=4b`
`iff b=x-4`
Donc si `x>=4` alors `n=2(2x+1)>=18` (pair) est un score possible

Tout `n>=27` tel que n est impair est un score possible. En effet il reste à considérer les entiers de la forme `n=4x+1` ou `n=4x+3`.
a) `4x+1=9*1+4b`
`iff 4x-8=4b`
`iff 4(x-2)=4b`
`iff b=x-2`

b) `4x+3=9*3+4b`
`iff 4x-8*3=4b`
`iff 4(x-6)=4b`
`iff b=x-6`

Analysons les plus grand scores possibles qui ne peuvent pas être atteint comme des scores.
`25=9*1+4*4`
23 ne peut pas s'écrire sous la forme `9a+4b`
Donc 23 est le plus grand nombre qui ne se peut pas être atteint comme un score.

b) Si n peut être obtenu comme un score de deux manières différentes, alors il peut s'écrire sous la forme `9a+4b=9x+4y`
On peut par exemple supposer que `a>x`, donc `b<y`.
`9a+4b=9x+4y`
`iff 9a-9x=4y-4b`
`iff 9(a-x)=4(y-b)`
Donc `a-x`est un multiple non nul et positif de 4. La plus petite solution est : `a-x=4 iff a=4+x`
Par conséquent, `y-b=9 iff y=b+9`
Pour obtenir la plus petite solution, on choisit `x=0` donc `a=4` et `b=0` donc `y=9`
Ainsi, le plus petit score qui peut s'écrire de deux manières différentes est `36=9*0+4*9=9*4+4*0`.
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Question 3

Message  Alain le Lun 11 Avr - 15:53

a) `abc=1`
`a+b+c=1/a+1/b+1/c`
`iff a+b+c=(bc+ac+ab)/(abc)`
`iff a+b+c=bc+ac+ab`
Si `a=1`:
`1+b+c=bc+c+b`
`iff 1=bc`
Un exemple numérique est:
`a=1`
`b=0,5`
`c=2`

b) Oui, il faut que au moins un de ces nombres soit 1.
Il faut au moins un 1 pour que `a+b+c=1/a+1/b+1/c`, alors:
`b+c=1/b+1/c iff b=1/c iff c=1/b`
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Concerne : réponse à la question 4

Message  G. Lorang le Dim 24 Avr - 17:53

Le début : très bien ! J'ai légèrement amélioré la rédaction.

A la fin tu avais écrit que les scores qui peuvent s'écrire de 2 manières sont de la forme `n in PGCD(9;4)ZZ iff n in 36ZZ`
Ceci est faux ! Il est facile de construire un contre-exemple, par exemple le score 58 :
`58=9*6+4*1` et `58=9*2+4*10`.
Tu trouves des informations supplémentaires ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne_ax%2Bby_%3D_c
(Théorème de Paoli et de Césaro ...)

20 points cadeau !
Cordialement, G. Lorang
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Concerne : réponse à la question 3

Message  G. Lorang le Dim 24 Avr - 18:02

a) Très bien ! (10 points cadeau)
b) Tu ne démontres rien ... Smile
On peut effectivement démontrer que l'un des trois nombres doit être égal à 1 mais c'est plus compliqué que ça ...
Peux-tu encore essayer si je te donne l'indication suivante : utilise le produit `(a-1)(b-1)(c-1)` !
Cordialement, G. Lorang
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Re: Question 3

Message  Alain le Lun 25 Avr - 16:42

b) Si au moins un des trois nombres doit être égal à 1, `(a-1)(b-1)(c-1)=0`.
(Rappel: `abc=1` et `a+b+c=ab+ac+bc`)
`(a-1)(b-1)(c-1)=(ab-a-b+1)(c-1)=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1=(a+b+c)-(ab+ac+bc)=0`
si et seulement si au moins un des trois nombre vaut 1.
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Message  G. Lorang le Mar 26 Avr - 8:17

Tu as bien compris l'idée !
On pourrait encore améliorer la rédaction mais c'est déjà très bien !
20 points cadeau pour toi ! bounce
Cordialement G. Lorang
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