OMB-Midi Finale 2009

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OMB-Midi Finale 2009

Message  G. Lorang le Ven 25 Mar - 9:42

Question 1
Soit `n` un nombre naturel. Notons `P_n` la propriété « `n^2-1` est multiple de 12 ».
(a) Montrer que `P_n` est vraie si `n` est un nombre premier autre que 2 ou 3.
(b) Donner un exemple de nombre composé `n` pour lequel `P_n` est vraie et un autre pour lequel `P_n` est fausse.
(c) Si `n` est composé, à quelle condition sur `n` la propriété `P_n` est-elle vraie ?

Question 2
Deux triangles rectangles `ABC` et `ABD` sont situés du même côté de leur hypoténuse commune `[AB]`. Leurs côtés `[AC]` et `[BD]` se coupent en `I`. Soit `H` la projection orthogonale de `I` sur `(AB)`.
Montrer que `(IH)` est la bissectrice de `/_CHD`.

Question 3
Mathilde dispose de `n` bougies identiques. Chaque dimanche, elle allume une ou plusieurs bougies durant une heure exactement : le premier dimanche, une bougie ; le second, deux bougies ; et ainsi de suite jusqu'au `n^e` dimanche, où elle allume les `n` bougies. Ce dimanche-là, à la fin de l'heure, les `n` bougies sont entièrement consumées.
(a) Ceci est-il possible lorsque `n=9` (si les durées de combustion des bougies conviennent) ?
(b) Ceci est-il possible lorsque `n=10` (si les durées de combustion des bougies conviennent) ?
(c) Déterminer toutes les valeurs de `n` pour lesquelles ceci est possible (si les durées de combustion des bougies conviennent). Expliquer comment procéder.

Question 4
Un fermier possède un pré carré de 30m de côté, clôturé sur tout son périmètre. Il désire le partager en trois parcelles de même aire. Il dispose pour cela de 50m de clôture (qu'il n'est pas obligé d'utiliser entièrement).
(a) Un tel partage est-il possible ?
(b) Est-il possible de plusieurs manières non isométriques ?
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Question 1

Message  Alain le Lun 18 Avr - 18:51

a) `n^2-1=(n-1)(n+1)`
Soit `n` un nombre premier différent de 2 et de 3.
Alors `n-1 in 3ZZ` ou `n+1 in 3ZZ`.
et `n-1 in 2ZZ` et `n+1 in 2ZZ`.
`n-1` et `n+1` sont deux nombres pairs consécutifs, alors `n-1 in 4ZZ` où `n+1 in 4ZZ`.
`2*3*4=24`, alors `n^2-1 in 24ZZ` et par conséquent `n^2-1 in 12ZZ`

b) Si `n=25`:
`25^2-1=624 in 12ZZ`, car `624=12*52`
Si `n=15`
`15^2-1=224 !in 12ZZ`

c) `n^2-1 in 12ZZ` si et seulement si `n^2-1` et divisible par 3 et par 4.
`n^2-1=(n-1)(n+1)`
`n` doit être impair, pour que `n-1 in 2ZZ` et `n+1 in 2ZZ`, ainsi `n^2-1 in 4ZZ`.
`n` ne peut pas être multiple de 3, pour que `n-1 in 3ZZ` ou `n+1 in 3ZZ`, ainsi `n^2-1 in 3ZZ`.
Donc, `P_n` est vraie pour tout nombre naturel, tel que `n` est impair et n'est pas divisible par 3.
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Question 3

Message  Alain le Lun 18 Avr - 19:15

a) Si `n=9`, alors la durée de combustion d'une bougie est:
`(n(n+1))/2*1/n=90/18=5` (heures)
`5 in NN`, alors Mathilde peut allumer ses 9 bougies le `9^e` dimanche.


b) Si `n=10`, alors la durée de combustion d'une bougie est:
`(n(n+1))/2*1/n=110/20=5,5` (heures)
`5,5 !in NN`, donc il est impossible que Mathilde peut allumer ses 10 bougies le `10^e` dimanche.

c) Pour que Mathilde puisse allumer ses `n` bougies le `n^e` dimanche:
`(n(n+1))/2*1/n in NN`
`(n(n+1))/2*1/n=(n+1)/2`
`(n+1)/2 in NN iff n !in 2NN`
Démonstration: Si `n in 2ZZ`, alors `n+1 !in 2ZZ`
Si `n !in 2ZZ`, alors `n+1 in 2ZZ`.
Ainsi, Mathilde peut allumer ses `n` bougies le `n^e` dimanche si et seulement si `n` est impair.
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Question 4

Message  Alain le Mar 19 Avr - 16:32

a) Soit le carré `ABCD` le pré carré du fermier.


`A(ABCD)=(30m)^2=900 m^2`
Les trois parcelles que le fermier veut obtenir auront un aire de `300m^2`.
Soit le point `G` tel que `AG=BG` et les points `E` et `F` respectivement tel que `2ED=AE` et `2FC=BF` et `H` le point d'intersection de`FE` et `GH`.
`A(FCDE)=30m*10m=300m^2`
`A(AGHE)=15m*20m=300m^2`
`A(GBFH)=15m*20m=300m^2`
Longueur de la clôture nécessaire: `FE+GH=50m`

Donc, un partage du terrain en trois parties de même aire avec 50m de clôture est possible.

b) Il existe seulement la manière de a) de partager le terrain en trois parcelles non isométriques de même aire avec 50m de clôture. Pour la manière suivante, il faudrait plus que 50m de clôture.


Ici, on partage le terrain en deux triangles isométriques et en une partie restante.
`A(BFE)=300m^2 iff (BE^2)/2=300m iff BE=sqrt(600)m=~24,5m`
`BE=BF=DG=DH=~24,5m`
La clôture nécessaire est `EF+HG`.
`EF=sqrt(BE^2+BF^2)=~34,6m`
`EF=HG iff EF+HG=2*34,6m=69,2m>50m`
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Question 2 (?)

Message  Alain le Ven 22 Avr - 14:59

J´ai un petit problème: Quand je fais la figure, j´obtiens cela:


Mais `(IH)` n´est pas la bissectrice de `/_CHD`. Question
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Réponses 1, 2 et 3

Message  G. Lorang le Mar 26 Avr - 19:57

Questions 1 et 3 : Très bien ! 40 points cadeau !
(J'ai légèrement amélioré la rédaction de la question 1.)

Pour la question de géométrie (question 2), tu fais mal la figure :
Les deux triangles doivent être du même côté de l'hypoténuse.
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Réponse 4

Message  G. Lorang le Mar 26 Avr - 20:41

a) Bravo !!! 10 points cadeau !
b) Il existe une façon de faire le découpage non isométrique avec le tien) avec 50 m mais c'est difficile à trouver :



Je te laisse le plaisir de vérifier (Pythagore !)
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Résultat OMB

Message  Alain le Dim 22 Mai - 18:42

Je veux vous dire que j'ai recu un prix spécial à la proclamation à Liège.
Un autre élève de 5e a égalament recu un prix spécial.
Du Luxembourg, une seule élève de 4e et deux élèves de 3e ont réussi à atteindre un classement meilleur que moi.

Je vous remercie que vous m'avez aidé pendant ma préparation à la finale.
Very Happy Smile bounce
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BRAVO !!!

Message  G. Lorang le Lun 23 Mai - 14:14

Cher Alain,
Je me réjouis énormément du succès que tu as eu à la finale de l'OMB et je te félicite de tout coeur !!! Very Happy Very Happy
T'aider fut un plaisir pour moi et j'espère qu'on va encore résoudre ensemble plein de problèmes intéressants ... !
Je corrigerai le reste de tes réponses après avoir corrigé les examens de 1re.
Vive les maths !!!
Cordialement, G. Lorang
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