OMB-Midi Finale 2008

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OMB-Midi Finale 2008

Message  G. Lorang le Ven 25 Mar - 9:51

Question 1
Dans le plan, combien existe-t-il de triangles équilatéraux distincts dont au moins deux sommets sont aussi des sommets :
(a) d'un carré donné ?
(b) d'un hexagone régulier donné ?
(c) d'un dodécagone (polygone à 12 sommets) régulier donné ?

Question 2
On considère 2008 fractions :
`a_1/b_1`, `a_2/b_2`, `a_3/b_3`, ...`a_2008/b_2008`,
dont les numérateurs sont des nombres naturels et les dénominateurs des nombres naturels non nuls. Démontrer que si `alpha` et `beta` sont respectivement la plus petite et la plus grande de ces fractions, on a :
`alpha<=(a_1+a_2+a_3+...a_2008)/(b_1+b_2+b_3+...b_2008)<=beta`

Question 3
Le triangle `ABC` est inscrit dans un cercle de centre `O`. La hauteur issue de `A` coupe `(BC)` en `H`. Le cercle de diamètre `[AH]` coupe `(AB)` en `D` et coupe `(AC)` en `E`. Démontrer que `(OA)` est perpendiculaire à `(DE)`.

Question 4
Les dimensions d'un terrain rectangulaire sont exprimées par deux nombres naturels `x` et `y` . Le propriétaire a la possibilité d'agrandir son terrain de sorte qu'il reste rectangulaire, mais que ses dimensions soient à présent `x+5` et `y+6`. Il s'aperçoit qu'après cet agrandissement, la superficie de son terrain a triplé. Quelles sont toutes les valeurs possibles de `x` et de `y` ?
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Question 1

Message  Alain le Mer 20 Avr - 17:54

a)


Le carré a 4 sommets, donc, logiquement, le nombre de triangles équilatéraux distincts dont au moins deux sommets sont aussi des sommets du carré:
`((4),(2))=6`
Mais on peut ''mettre'' les triangles dans deux sens. Exemple:
Le triangle `CDE` admet comme sommets communs `C` et `D`. Mais le triangle `CDF=s_(CD)(CDE)` admet les mêmes sommets commun.
Ainsi il existe 6 paires de triangles, alors 12 triangles équilatéraux distincts dont au moins deux sommets sont aussi des sommets d'un carré donné.

b)


Même procédure chez un hexagone régulier donné:
`2((6),(2))=30`
Ici, les triangles `AEC` et `BFD` ont trois sommets communs. Alors il faut soustraire les triangles `ECA`, `CAE`, `FDB` et `DBF`, ce qui donne `30-4=26` triangles équilatéraux distincts dont au moins deux sommets sont aussi des sommets d'un hexagone régulier donné.

c)


Même procédure chez un dodécagone régulier donné:
`2((12),(2))=132`
Ici, les triangles `AIE`, `LHD`, `KGC` et `JFB` ont trois sommets communs. Alors, il faut soustraire les triangles `IEA`, `EAI`, `HDL`, `DLH`, `GCK`, `CKG`, `FBJ` et `BJF`, ce qui donne `132-8=124` triangles équilatéraux distincts dont au moins deux sommets sont aussi des sommets d'un dodécagone régulier donné.
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Question 2

Message  Alain le Mer 20 Avr - 18:22

Soit `a_1/b_1<=a_2/b_2<=...<=a_2008/b_2008`
`alpha<=a_1/b_1 iff alphab_1<=a_1`
`alpha<=a_2/b_2 iff alphab_2<=a_2`
...
`alpha<=a_2008/b_2008 iff alphab_2008<=a_2008`
En additionnant, on obtient:
`alphasum_(n=1)^(2008)b_n<=sum_(n=1)^(2008)a_n iff alpha<=(sum_(n=1)^(2008)a_n)/(sum_(n=1)^(2008)b_n)` (1)

`beta>=a_1/b_1 iff betab_1>=a_1`
`beta>=a_2/b_2 iff betab_2>=a_2`
...
`beta>=a_2008/b_2008 iff betab_2008>=a_2008`
En additionnant, on obtient:
`betasum_(n=1)^(2008)b_n>=sum_(n=1)^(2008)a_n iff beta>=(sum_(n=1)^(2008)a_n)/(sum_(n=1)^(2008)b_n)` (2)
Finalement, en appliquant (1) et (2):
`alpha<=(sum_(n=1)^(2008)a_n)/(sum_(n=1)^(2008)b_n)<=beta`
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Question 4

Message  Alain le Mer 20 Avr - 18:40

`(x+5)(y+6)=3xy`
`iff xy+5y+6x+30=3xy`
`iff -2xy+5y=-6x-30`
`iff 2xy-5y=6x+30`
`iff y(2x-5)=6x+30`
`iff y=(6x-15+45)/(2x-5)`
`iff y=(3(2x-5)+45)/(2x-5)`
`iff y=(3(2x-5))/(2x-5)+45/(2x-5)`
`iff y=3+45/(2x-5)`
Cette équation n' a que de sens si `2x-5 in div45`
`div45=(1;3;5;9;15;45)`
`2x-5=1 iff x=3 iff y=48`
`2x-5=3 iff x=4 iff y=18`
`2x-5=5 iff x=5 iff y=12`
`2x-5=9 iff x=7 iff y=8`
`2x-5=15 iff x=10 iff y=6`
`2x-5=45 iff x=25 iff y=4`
Les valeurs possibles pour les dimensions du terrain sont (3;48), (4;18), (5;12), (7;8 ), (10;6) et (25;4).
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Question 3

Message  Alain le Ven 22 Avr - 14:43

Faisons une figure:


Ajoutons le point d´intersection `F` de `(OA)` et `(DE)`.
`OA_|_DE iff AFE=90°`
`F` appartient au demi-cercle `EA`. D´après le théorème de Thales:
`AFE=90°` si et seulement si `(OA)` est perpendiculaire à `(DE)`.
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Tout parfait sauf la question 3 !

Message  G. Lorang le Dim 24 Avr - 21:07

La question de géométrie est plus difficile. J'y reviendrai lorsque j'ai le temps.
Tu as très bien résolu les autres questions !

80 points cadeau pour toi !!!!! bounce

Cordialement, G. Lorang
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Question 3 : aide

Message  G. Lorang le Mar 26 Avr - 19:43

La question 3 est très difficile ...
Tu dois utiliser le théorème de l'arc capable :
http://elm1789.free.fr/PremiereS/th_angle_inscrit.pdf
et ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Arc_capable
(Regarde la figure animée ! L'angle `alpha` est constant ! C'est ça le plus important !)
C'est un théorème de géométrie qui disparaît de plus en plus de nos programmes, malheureusement ...

Bon courage !
Cordialement, G. Lorang
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