Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)
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Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)
Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` sans utiliser la calculatrice ...
Le résultat doit être exprimé en fonction d'une puissance de 3.
Le résultat doit être exprimé en fonction d'une puissance de 3.
Re: Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)
`(1 +3)*(1+ 3^2)*(1+ 3^4)*(1 +3^8)*(1 +3^16)*(1+ 3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1 +3)*(1-3)/(1-3)*(1+ 3^2)*(1 +3^4)*(1 +3^8)*(1 +3^16)*(1+ 3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^2)/(1-3)*(1+ 3^2)*(1 +3^4)*(1+ 3^8)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^4)/(1-3)*(1+ 3^4)*(1 +3^8)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1 +3^64)`
= `(1-3^8)/(1-3)*(1 +3^8)*(1 +3^16)*(1+ 3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^16)/(1-3)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^32)/(1-3)*(1 +3^32)*(1 +3^64)`
= `(1-3^64)/(1-3)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^128)/(1-3)`
= `(3^128-1)/2`
:D richteg ^^? *ironie*
= `(1 +3)*(1-3)/(1-3)*(1+ 3^2)*(1 +3^4)*(1 +3^8)*(1 +3^16)*(1+ 3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^2)/(1-3)*(1+ 3^2)*(1 +3^4)*(1+ 3^8)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^4)/(1-3)*(1+ 3^4)*(1 +3^8)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1 +3^64)`
= `(1-3^8)/(1-3)*(1 +3^8)*(1 +3^16)*(1+ 3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^16)/(1-3)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^32)/(1-3)*(1 +3^32)*(1 +3^64)`
= `(1-3^64)/(1-3)*(1+ 3^64)`
= `(1-3^128)/(1-3)`
= `(3^128-1)/2`
:D richteg ^^? *ironie*
BRAVO !
Ganz schei schlau !
Nes 20 Punkten fir dech !!!
Et kann en de Problem och nach anescht leisen, ... fir dei di Loscht hun ...
Duerfir loossen ech dese Sujet nach op !!!!
G. Lorang
Nes 20 Punkten fir dech !!!
Et kann en de Problem och nach anescht leisen, ... fir dei di Loscht hun ...
Duerfir loossen ech dese Sujet nach op !!!!
G. Lorang
Re: Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)
On peut également effectuer le produit.
On obtient alors:
`(1+3)*(1+3^2)*(1+3^4)*(1+3^8)*(1+3^16)*(1+3^32)*(1+3^64)
`=(1+3^64)*(1+3+3^2+3^3)*(1+3^4+3^8+3^12)*(1+3^16+3^32+3^48)
`=(1+3^1+3^2+3^3+3^64+3^65+3^66+3^67)*(1+3^4+3^8+3^12+3^16+3^20+3^24+3^28+3^32+3^36+3^40+3^44+3^48+3^52+3^56+3^60)
`=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^126+3^127
Or ceci sont les 128 premiers termes de la suite géométrique `u_n=3^n` avec `u_0=1`
Cette somme s' écrit encore sous la forme
`sum_(n=0)^127 3^n = (1-3^128)/(1-3) =(3^128-1)/2
Voilà une autre méthode pour résoudre le problème, mais (beaucoup) plus longue.
On obtient alors:
`(1+3)*(1+3^2)*(1+3^4)*(1+3^8)*(1+3^16)*(1+3^32)*(1+3^64)
`=(1+3^64)*(1+3+3^2+3^3)*(1+3^4+3^8+3^12)*(1+3^16+3^32+3^48)
`=(1+3^1+3^2+3^3+3^64+3^65+3^66+3^67)*(1+3^4+3^8+3^12+3^16+3^20+3^24+3^28+3^32+3^36+3^40+3^44+3^48+3^52+3^56+3^60)
`=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^126+3^127
Or ceci sont les 128 premiers termes de la suite géométrique `u_n=3^n` avec `u_0=1`
Cette somme s' écrit encore sous la forme
`sum_(n=0)^127 3^n = (1-3^128)/(1-3) =(3^128-1)/2
Voilà une autre méthode pour résoudre le problème, mais (beaucoup) plus longue.
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
BRAVO !
Encore 10 points cadeau pour ton effort supplémentaire !
J'avais effectivement envisagé une solution de ce type.
Seulement, j'aurais procédé itérativement :
`(1+3)(1+3^2)=1+3+3^2+3^3`
`(1+3+3^2+3^3)(1+3^4)=1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7
`(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7)(1+3^8)=1+3+3^2+3^3+...+3^15
etc !
Donc :
`(1+3)(1+3^2)...(1+3^64)=1+3+3^2+3^3+...+3^(1+2+4+8+16+32+64)
`=1+3+3^2+3^3+...3^127
`=(3^128-1)/2
J'avais effectivement envisagé une solution de ce type.
Seulement, j'aurais procédé itérativement :
`(1+3)(1+3^2)=1+3+3^2+3^3`
`(1+3+3^2+3^3)(1+3^4)=1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7
`(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7)(1+3^8)=1+3+3^2+3^3+...+3^15
etc !
Donc :
`(1+3)(1+3^2)...(1+3^64)=1+3+3^2+3^3+...+3^(1+2+4+8+16+32+64)
`=1+3+3^2+3^3+...3^127
`=(3^128-1)/2
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