Algèbre : Calculer `x^3+1/x^3`

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Algèbre : Calculer `x^3+1/x^3`

Message  G. Lorang le Ven 29 Oct - 9:45

Soit `x` un nombre réel positif tel que `(x+1/x)^2=5`. Que vaut alors `x^3+1/x^3` ?
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`x^3+1/x^3=2*sqrt(5)`

Message  carole le Mar 28 Déc - 19:21

Reprenons d' abord la première équation:
`(x+1/x)^2=5
`iff x+1/x=sqrt(5)` ou `x+1/x=-sqrt(5)` (à rejeter car `x>0` et donc `x+1/x>0`)

de plus:
`(x+1/x)^3=x^3+3x+3/x+1/x^3=x^3+1/x^3+3*(x+1/x)

d' où:
`(x+1/x)^3-3*(x+1/x)=x^3+1/x^3

remplaçons `x+1/x` par `sqrt(5)`:
`x^3+1/x^3=sqrt(5)^3-3*sqrt(5)
`iff x^3+1/x^3=5sqrt(5)-3sqrt(5) =2sqrt(5)

On a donc montré que `x^3+1/x^3=2sqrt(5)` si `(x+1/x)^2=5`.


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Bravo !

Message  G. Lorang le Jeu 6 Jan - 13:48

20 points cadeau pour toi !
Et bonne année !!!
Cordialement, G. Lorang
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Re: Algèbre : Calculer `x^3+1/x^3`

Message  carole le Jeu 6 Jan - 15:37

merci à vous pareillement! Smile
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