Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)

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Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)

Message  G. Lorang le Mar 18 Mai - 22:12

Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` sans utiliser la calculatrice ...
Le résultat doit être exprimé en fonction d'une puissance de 3.
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Re: Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)

Message  Tom2 le Mer 19 Mai - 17:39

`(1 +3)*(1+ 3^2)*(1+ 3^4)*(1 +3^8)*(1 +3^16)*(1+ 3^32)*(1+ 3^64)`

= `(1 +3)*(1-3)/(1-3)*(1+ 3^2)*(1 +3^4)*(1 +3^8)*(1 +3^16)*(1+ 3^32)*(1+ 3^64)`

= `(1-3^2)/(1-3)*(1+ 3^2)*(1 +3^4)*(1+ 3^8)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1+ 3^64)`

= `(1-3^4)/(1-3)*(1+ 3^4)*(1 +3^8)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1 +3^64)`

= `(1-3^8)/(1-3)*(1 +3^8)*(1 +3^16)*(1+ 3^32)*(1+ 3^64)`

= `(1-3^16)/(1-3)*(1+ 3^16)*(1 +3^32)*(1+ 3^64)`

= `(1-3^32)/(1-3)*(1 +3^32)*(1 +3^64)`

= `(1-3^64)/(1-3)*(1+ 3^64)`

= `(1-3^128)/(1-3)`

= `(3^128-1)/2`


:D richteg ^^? *ironie*
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Mer 19 Mai - 18:18

Ganz schei schlau ! bounce
Nes 20 Punkten fir dech !!!
Et kann en de Problem och nach anescht leisen, ... fir dei di Loscht hun ... lol!

Duerfir loossen ech dese Sujet nach op !!!!

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Re: Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)

Message  carole le Jeu 13 Jan - 20:53

On peut également effectuer le produit.
On obtient alors:
`(1+3)*(1+3^2)*(1+3^4)*(1+3^8)*(1+3^16)*(1+3^32)*(1+3^64)
`=(1+3^64)*(1+3+3^2+3^3)*(1+3^4+3^8+3^12)*(1+3^16+3^32+3^48)
`=(1+3^1+3^2+3^3+3^64+3^65+3^66+3^67)*(1+3^4+3^8+3^12+3^16+3^20+3^24+3^28+3^32+3^36+3^40+3^44+3^48+3^52+3^56+3^60)
`=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^126+3^127

Or ceci sont les 128 premiers termes de la suite géométrique `u_n=3^n` avec `u_0=1`

Cette somme s' écrit encore sous la forme
`sum_(n=0)^127 3^n = (1-3^128)/(1-3) =(3^128-1)/2

Voilà une autre méthode pour résoudre le problème, mais (beaucoup) plus longue.
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Ven 14 Jan - 9:20

Encore 10 points cadeau pour ton effort supplémentaire !

J'avais effectivement envisagé une solution de ce type.
Seulement, j'aurais procédé itérativement :
`(1+3)(1+3^2)=1+3+3^2+3^3`
`(1+3+3^2+3^3)(1+3^4)=1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7
`(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7)(1+3^8)=1+3+3^2+3^3+...+3^15

etc !

Donc :
`(1+3)(1+3^2)...(1+3^64)=1+3+3^2+3^3+...+3^(1+2+4+8+16+32+64)
`=1+3+3^2+3^3+...3^127
`=(3^128-1)/2
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Re: Arithmétique : Calculer `(1+3)(1+3^2)(1+3^4)(1+3^8)(1+3^16)(1+3^32)(1+3^64)` (OMB Maxi)

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