Arithmétique : Diviseurs de `2^48-1` (OMB Maxi)

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Arithmétique : Diviseurs de `2^48-1` (OMB Maxi)

Message  G. Lorang le Ven 14 Mai - 8:47

Le nombre entier `2^48-1` admet 6 diviseurs compris entre 50 et 100. Quelle est leur somme ? (Rép. 452)
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Message  G. Lorang le Mar 8 Juin - 15:40

Utiliser les identités remarquables ...
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Re: Arithmétique : Diviseurs de `2^48-1` (OMB Maxi)

Message  carole le Mar 29 Juin - 19:43

`2^48-1 = (2^24-1)*(2^24+1)`
Or, `2^24-1 = (2^12-1)*(2^12+1)`
De la même manière on reçoit:
`2^48-1 = (2^24+1)(2^12+1)*(2^6+1)*(2^3+1)*(2^3-1)`
Or,
`2^24+1=16777217=97*257*673`
`2^12+1=4097=17*241`
`2^6+1=65=5*13`
`2^3+1=9=3^2`
D' où
`2^48-1=3^2*5*13*17*97*241*257*673`
Donc les diviseurs compris entre 50 et 100 sont 51, 63, 65, 85, 91, 97 et leur somme est 452.
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Mar 29 Juin - 20:13

C'est exactement cela ! Remarque que tu aurais pu trouver la factorisation de `2^12+1` et `2^24+1` plus facilement
en utilisant l'identité remarquable :
`a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)`

`2^12+1=(2^4)^3+1=(2^4+1)(2^8-2^4+1)=17*241`
`2^24+1=(2^8)^3+1=(2^8+1)(2^16-2^8+1)=257*65281`

Le seul problème est donc de factoriser `2^16-2^8+1=65281=97*673` sans utiliser la calculatrice ...

20 points pour toi !
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