Géométrie : Aire délimitée par 3 cercles
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Géométrie : Aire délimitée par 3 cercles
Sur la figure ci-dessus, les trois cercles sont de même rayon `R` et deux quelconques d'entre eux passent par le centre du troisième. Déterminer l'aire de la figure hachurée !
`aire=(r^2(pi-sqrt(3)))/2`
Comme les 3 cercles ont même rayon et les points d' intersection de deux cerclres se trouvent à chaque fois sur le centre de l' autre, on peut dire que
`AB=BC=CA=r` où r est le rayon du cercle
et que le triangle est donc équilatéral (il a trois angles de `pi/3`rad).
Calculons d' abord l' aire du secteur circulaire formé par l' arc AB(=BC=CA):
aire(arc)=`(pi/3*r^2)/2=pi/6*r^2
Calculons l' aire du triangle ABC:
aire(triangle)=`(r*sqrt(3)/2*r)/2=r^2*sqrt(3)/4
Calculons enfin l'aire de la partie hachurée:
aire=aire(arc)+2(aire(arc)-aire(triangle))=`pi/6*r^2+2*(pi/6*r^2-r^2*sqrt(3)/4)
`=r^2*(pi/2-sqrt(3)/2)
`AB=BC=CA=r` où r est le rayon du cercle
et que le triangle est donc équilatéral (il a trois angles de `pi/3`rad).
Calculons d' abord l' aire du secteur circulaire formé par l' arc AB(=BC=CA):
aire(arc)=`(pi/3*r^2)/2=pi/6*r^2
Calculons l' aire du triangle ABC:
aire(triangle)=`(r*sqrt(3)/2*r)/2=r^2*sqrt(3)/4
Calculons enfin l'aire de la partie hachurée:
aire=aire(arc)+2(aire(arc)-aire(triangle))=`pi/6*r^2+2*(pi/6*r^2-r^2*sqrt(3)/4)
`=r^2*(pi/2-sqrt(3)/2)
Dernière édition par carole le Lun 10 Jan - 20:17, édité 4 fois
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Petites fautes ...
carole a écrit:
Calculons d'abord l' aire du secteur circulaire formé par l' arc AB(=BC=CA):
aire(arc)=`(pi/3)/(2*pi)*r^2*2*pi=pi/3*r^2
La formule pour l'aire d'un secteur circulaire est : `Aire=(alpha*r^2)/2` où `alpha` est l'angle et `r` le rayon.
carole a écrit:
Calculons l'aire du triangle ABC:
aire(triangle)=`(r*sqrt(3)/2*r)/2=r^2*sqrt(3)/2
Cela devrait être : `(r*sqrt(3)/2*r)/2=r^2*sqrt(3)/4
Amicalement, G. Lorang
Re: Géométrie : Aire délimitée par 3 cercles
J' ai redressé, mais j' ai également remarqué que j' avais déjà fait le même calcul ici :
https://lmrl-maths.forumactif.com/t20-geometrie-aire-comprise-entre-3-cercles-omb-maxi
En fait, il s' agit du même problème.
Il y a également un problème du questionnaire des OMB test d' entrainement 2010-2011 qui a déjà été résolu dans la rubrique MIDI.
https://lmrl-maths.forumactif.com/t20-geometrie-aire-comprise-entre-3-cercles-omb-maxi
En fait, il s' agit du même problème.
Il y a également un problème du questionnaire des OMB test d' entrainement 2010-2011 qui a déjà été résolu dans la rubrique MIDI.
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Oups !
Je n'avais pas remarqué que j'avais posé le problème déjà une fois...
Bien quand même pour la résolution ... 10 points cadeau supplémentaires.
Cordialement, G. Lorang
Bien quand même pour la résolution ... 10 points cadeau supplémentaires.
Cordialement, G. Lorang
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