Somme des aires de cercles inscrits

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Somme des aires de cercles inscrits

Message  G. Lorang le Jeu 20 Oct - 9:53

Dans un triangle `ABC` de côtés `a`, `b` et `c`, on trace les trois tangentes au cercle inscrit, parallèles aux trois côtés du triangle respectivement. Chacune de ces tangentes sectionne un coin triangulaire du triangle `ABC`. On construit les cercles inscrits dans chacun des trois coins. On demande de prouver que la somme des aires des 4 cercles inscrits sur la figure est :
$\frac{ \pi ( a^{2}+b^{2}+c^{2})(s-a)(s-b)(s-c)}{s^{3}} $
où `s` désigne le demi-périmètre du triangle `ABC`.


Dernière édition par G. Lorang le Sam 4 Fév - 7:55, édité 1 fois
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Re: Somme des aires de cercles inscrits

Message  carole le Dim 5 Fév - 15:25



Voici une nouvelle figure avec seulement un secteur triangulaire!
Comme les deux droites `BC` et `B_AC_A` sont parallèles et tangentes au même cercle de rayon `r` (énoncé), elles sont distantes de `2r`.

Les deux triangles `ABC` et `AB_AC_A` sont semblables, donc on a:
`(AB)/(AB_A)=(AC)/(AC_A)=(BC)/(B_AC_A)=(h_A)/(h_a)` (où `h_A` et `h_a` sont les longueurs des hauteurs issues de A du grand respectivement petit triangle).
Comme les triangles sont semblables, les rayons inscrits vérifient également `r/r_A=h_A/h_a`.
Or on sait que `h_A-2r=h_a`:
`r/r_a=h_A/h_a
`iff r_a=r*(h_A-2r)/h_A=r*(1-2r/h_A)

Or on sait que `r=2((a*h_A)/2)/(a+b+c)=(ah_A)/(a+b+c)`
(cf http://lmrl-maths.forumactif.com/t126-rayon-du-cercle-inscrit-d-un-triangle-rectangle ):

`r_a=r(1-(2a)/(a+b+c))
`r_a=r*(s-a)/s
`r_a=(s-a)/s*sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))/s

En effet
`1-(2a)/(a+b+c)=(1-a/s)=(s-a)/s
et
`r=2sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))/(a+b+c)=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))/s

Aire du cercle inscrit au triangle `AB_AC_A`:
`pi*r_a^2
`=pi*(s-a)^2(s(s-a)(s-b)(s-c))/s^4=pi*(s-a)^2((s-a)(s-b)(s-c))/s^3

De même on trouve les expressions pour les aires des autres cercles inscrits.
D' où la somme vaut:
`pi*(s-a)^2((s-a)(s-b)(s-c))/s^3+pi*(s-b)^2((s-a)(s-b)(s-c))/s^3
`+pi*(s-c)^2((s-a)(s-b)(s-c))/s^3+pi(s^2(s-a)(s-b)(s-c))/s^3

`=pi*((s-a)(s-b)(s-c))/s^3[(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2+s^2]

Or, on a:
`(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2+s^2
`=s^2-2as+a^2+s^2-2sb+b^2+s^3-2sc+c^2+s^2
`=a^2+b^2+c^2-2s(a+b+c)+4s^2
`=a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2+(a+b+c)^2
`=a^2+b^2+c^2

Donc la somme des aires vaut bien `pi*((s-a)(s-b)(s-c))/s^3(a^2+b^2+c^2)
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VICTOIRE !!!

Message  G. Lorang le Dim 5 Fév - 15:46

Bravo ! Je n'ai rien à ajouter !
30 points cadeau !
Cordialement, G.L. santa


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Re: Somme des aires de cercles inscrits

Message  le_magicien le Mer 11 Avr - 20:15

Bonjour,

Je propose une solution alternative.

Tout d'abord, on se base sur la formule de Héron pour calculer le rayon du cercle inscrit du triangle `ABC` de la façon suivante : `r=\frac{sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}`. Donc l'aire de ce cercle vaut `frac{\pi(s-a)(s-b)(s-c)}{s}`.

Ensuite, on remarque que l'aire de la somme des quatre cercles peut être obtenue à partir de l'aire précédente en la multipliant par le facteur `1+\alpha^2+\beta^2+\gamma^2` où le nombre `\alpha\in]0;1[` (respectivement `\beta` et `\gamma`) représente le rapport de l'homothétie de centre `A` (respectivement `B` et `C`) transformant le cercle inscrit du triangle `ABC` en le cercle inscrit à un des nouveaux triangles.

De plus, si l'homothétie précédente est itérée une infinité de fois, on peut reconstruire la hauteur issue de l'angle `A` en translatant les diamètres (parallèles à cette hauteur) des cercles respectifs. Ainsi, la longueur de la hauteur issue du sommet `A` est donnée par la limite de la série géométrique `\sum_{n=0}^{+\infty}2r\alpha^n=\frac{2r}{1-\alpha}`. Mais alors, on obtient `rs=\frac{ar}{1-\alpha}` en calculant l'aire du triangle `ABC` de deux façons. Donc `\alpha=1-\frac{a}{s}`. De façon analogue, on trouve `\beta=1-\frac{b}{s}` et `\gamma=1-\frac{c}{s}`.

Finalement, l'aire recherchée vaut :
`\frac{\pi(s-a)(s-b)(s-c)(1+\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)}{s}=\frac{\pi(s-a)(s-b)(s-c)(1+(1-\frac{a}{s})^2+(1-\frac{b}{s})^2+(1-\frac{c}{s})^2)}{s}`
`=\frac{\pi(s-a)(s-b)(s-c)(4-2\frac{a+b+c}{s}+\frac{a^2+b^2+c^2}{s^2})}{s}=\frac{\pi(s-a)(s-b)(s-c)(a^2+b^2+c^2)}{s^3}`.

le_magicien
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Très belle observation !

Message  G. Lorang le Dim 15 Avr - 13:29

Bravo magicien, ton observation est magnifique !
Tu continues à nous épater sur ce forum !
20 points cadeau de ma part !
G. Lorang
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