Algèbre : Que vaut `a^2+b^2` ?

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Algèbre : Que vaut `a^2+b^2` ?

Message  G. Lorang le Sam 30 Oct - 16:01

Si `a^3-b^3=126` et `a-b=3`, que vaut `a^2+b^2` ?
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Re: Algèbre : Que vaut `a^2+b^2` ?

Message  Vanessa le Jeu 17 Fév - 19:34

`a^3-b^3=126` (1)

`a-b=3`
`b=a-3`(2)

(2) dans (1): `a^3-(a-3)^3=126`
`a^3-(a^3-9a^2+27a-27)=126`
`9a^2-27a-99=0`
`a^2-3a-11=0` ou `9=0`
`Delta=9+44` ou impossible!
`=53`

`a_1=(3-sqrt(53))/2` alors `b_1=-(3+sqrt(53))/2`
`a_2=(3+sqrt(53))/2` alors `b_2=-(3-sqrt(53))/2`

On remarque que `│a_1│=│b_2│` et que `│a_2│=│b_1│`
Donc:
`a^2+b^2=((3-sqrt(53))/2)^2+((3+sqrt(53))/2)^2`
`=(9-6*sqrt(53)+53+9+6*sqrt(53)+53)/4`
`=124/4`
`=31`

Vanessa
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Bravo !

Message  G. Lorang le Ven 18 Fév - 9:24

Je te félicite d'avoir répondu correctement à ta première question dans ce forum et j'attends déjà avec impatience tes réponses à d'autres questions ....!!
20 points cadeau pour toi ! bounce

Je te propose la solution suivante. J'espère qu'elle te plaît ... Smile :

`a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)` identité remarquable à connaître par coeur ... Smile
`iff 126=3(a^2+b^2+ab)`
`a^2+b^2+ab=42` (1)

D'autre part :

`(a-b)^2=3^2`
`iff a^2-2ab+b^2=9` (2)

(1)-(2) donne :
`3ab=33 iff ab=11` (4)

(4) dans (1) : `a^2+b^2=42-11=31`
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