Algèbre : Pair ou impair ?

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Algèbre : Pair ou impair ?

Message  G. Lorang le Sam 30 Oct - 8:37

1) Soit `a` et `b` deux entiers consécutifs. Montrer que la racine carrée de `S=a^2+b^2+a^2*b^2` est également un entier.
2) Cet entier est-il pair ou impair ?
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Message  Alain le Lun 17 Oct - 16:07

`S=a^2+b^2+a^2b^2`
`=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2`
`=a^2+a^2+2a+1+a^2(a^2+2a+1)`
`=2a^2+2a+1+a^4+2a^3+a^2`
`=a^4+2a^3+a^2+2a^2+2a+1`
`=a^2(a^2+2a+1)+2a(a+1)+1`
`=a^2(a+1)^2+2a(a+1)+1`
`=(a(a+1)+1)^2`
`S` est un carré parfait si et seulement si la racine carrée de `S` est également un entier.

Démontrons d'abord que `a(a+1)` est toujours pair:
Si `a` est pair: `a(a+1)=2x(2x+1) in 2ZZ`
Si `a` est impair: `a(a+1)=(2x+1)(2x+2)`
`=2(2x+1)(x+1) in 2ZZ`
`a(a+1)+1` peut donc s'écrire sous la forme `2y+1` ce qui nous montre que la racine carrée de `S` est toujours impaire.
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Bravo !

Message  G. Lorang le Lun 17 Oct - 18:41

Très bien !
Le fait que `a(a+1)` est toujours pair est trivial : c'est le produit de deux entiers consécutifs, donc soit `a`, soit `a+1`est pair.
20 points cadeau pour toi !
Cordialement G. Lorang
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