Suites numériques : Empilement de boîtes.

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas

Suites numériques : Empilement de boîtes.

Message  G. Lorang le Ven 2 Juil - 10:30

Un commerçant souhaîte empiler 800 boîtes de conserve de la manière suivante :
1) Les boîtes sont placées les unes sur les autres en rangées horizontales.
2) La rangée inférieure contient au plus 100 boìtes.
3) Le nombre de boîtes diminue de 2 d'une rangée à l'autre, comme sur le schéma ci-dessous :

...UUUUUU
..UUUUUUUU
.UUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUU


De combien de façons le commerçant peut-il réaliser cet empilement ? Préciser pour chaque possibilité le nombre de rangées et le nombre de boîtes dans la 1re et dans la dernière rangée.


avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Réponse

Message  Alain le Mer 25 Jan - 15:44

Soit `n` le nombre de rangées. La somme des `n` premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par :
`(n/2)(2a+d(n-1))`
où `d` est la difference entre les termes (dans notre cas -2) et `a` le premier terme (dans notre cas le nombre de boîtes de la rangée inférieure).
Comme cette somme est toujours égale à 800:
`(n/2)(2a-2(n-1))=800`
`iff n(a-n+1)=800`
`iff a=800/n+n-1`
Le nomre de rangées est forcément un diviseur de 800: `Div 800={1;2;4;5;8;10;16;20;25;32;40;50;80;100;160;200;400;800}`
Si `n=1`, on aurait une seule rangée avec toutes les 800 boîtes.
Si `n=2`, `a=(800/2)+2-1=401`.
Si `n=4`, `a=(800/4)+4-1=203`.
Si `n=5`, `a=(800/5)+5-1=164`.
Si `n=8`, `a=(800/8)+8-1=107`.
Si `n=10`, `a=(800/10)+10-1=89` et la première rangée aurait `89-2(10-1)=71` boîtes.
Si `n=16`, `a=(800/16)+16-1=65` et la première rangée aurait `65-2(16-1)=35` boîtes.
Si `n=20`, `a=(800/20)+20-1=59` et la première rangée aurait `59-2(20-1)=21` boîtes.
Si `n=25`, `a=(800/25)+25-1=56` et la première rangée aurait `56-2(25-1)=8` boîtes.
Si `n=32`, `a=(800/32)+32-1=56` et la première rangée aurait `56-2(32-1)=-6` boîtes, ce qui est impossible.
Si `n=40`, `a=(800/40)+40-1=59`. et la première rangée aurait `59-2(40-1)=-19` boîtes, ce qui est impossible.
...
Si `n>=32`, le nombre de boîtes de la première rangée devient donc négatif et deviendra plus petit après chaque étape.
Donc il existe 4 façons pour réaliser un tel empliment; on peut empiler soit 10 rangées, soit 16 rangées, soit 20 rangées, soit 25 rangées.
avatar
Alain
Pro
Pro

Messages : 70
Date d'inscription : 25/03/2011
Age : 21

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Bravo !

Message  G. Lorang le Sam 4 Fév - 8:33

Tu as parfaitement résolu le problème !
20 points cadeau ! Very Happy

Personnellement, j'aurais raisonné un peu avec des inégalités pour réduire le nombre d'essais :
Par exemple :
Le nombre de boîtes dans la 1re rangée est `<=100`, donc :
`a<=100 iff 800/n+n-1<=100 => n>8`, si l'on considère uniquement les diviseurs de 800.
Le nombre de boîtes dans la dernière rangée doit être positif, donc :
`a-2n+2>0 iff 800/n+n-1-2n+2>0 iff 800/n-n+1>0 iff 800/n>n-1`.
Ceci implique que `n` n'est pas trop grand et plus précisément : `n<=25`, si l'on considère uniquement les diviseurs de 800.
Donc : `8<n<=25`

Cordialement, G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Suites numériques : Empilement de boîtes.

Message  Contenu sponsorisé


Contenu sponsorisé


Revenir en haut Aller en bas

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut

- Sujets similaires

 
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum