Suites numériques : Détermination d'une formule explicite

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Suites numériques : Détermination d'une formule explicite

Message  G. Lorang le Ven 18 Juin - 19:00

On considère la suite numérique `(u_n)_(n>=1)` dont les premiers termes sont :
`u_1=1`, `u_2=6`, `u_3=4`, `u_4=9`, `u_5=7`, `u_6=12`, `u_7=10` etc.
(On ajoute et retranche successivement 5 et 2 respectivement Smile)
Déterminer une formule qui donne explicitement `u_n` en fonction de `n`, pour tout `n>=1`.
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Re: Suites numériques : Détermination d'une formule explicite

Message  kyu~ le Dim 27 Juin - 19:02

(`u_0=3`)
si n est pair: `u_n=u_0+(n/2)*3`
si n est impair: `u_n=u_1+((n-1)/2)*3`

Exemples:
`u_0=3,u_2=3+1*(5-2)=6,u_4=3+2*(5-2)=9,...`
`u_1=1,u_3=1+1*(-2+5)=4,u_5=1+2*(-2+5)=7,...`

Justification:
`u_(n+2) = u_n + 3` (car `u_(n+2)=u_n+5-2` ou bien `u_(n+2)=u_n-2+5`, ce qui est la même chose)
Donc pour chaque nombre im/pair on ajoute 3 au premier terme.
2 est le `2/2`ier nombre pair après `u_0`, donc on ajoute 1 fois 3 à `u_0`. 4 est le `4/2`ième nombre pair après `u_0`, donc on ajoute 2 fois 3 à `u_0`.
Si n est pair, n est le `n/2`ième nombre pair après `u_0`, donc on ajoute `n/2`fois 3 à `u_0`.
Même idée pour les nombres impairs, 3 est le `(3-1)/2`ier nombre impair après 1, donc on ajoute 1 fois 3 à `u_1`.
Si n est impair, n est le `(n-1)/2`ième nombre impair après 1, donc on ajoute `(n-1)/2`fois 3 à `u_1`

J'ai aussi remarqué que:
`u_2=6 =3*n`
`u_3=4 =3*n -5` et `5=u_2-1`
`u_4=9 =3*n -3` et `3=u_3-1`
`u_5=7 =3*n -8` et `8=u_4-1`
(`u_2=6 =3*n -0 ; 0=1-1`)
`u_1=3*1+u_0-1 = 3+3-1 = 1`
`=>u_n=3*n-u_(n-1)-1`
Il apparaît qu'il s'agit bien une formule explicite (ou au moins une qui fonctionne pour les premiers termes de cette suite), mais je n'ai pas encore trouvée une bonne démonstration...
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Pas mal pour le début ...

Message  G. Lorang le Dim 27 Juin - 20:20

Je m'attendais à obtenir une formule qui distingue les cas `n` pair ou impair. Mais il existe une formule dans laquelle on n'a pas besoin de faire cette distinction, qui fonctionne pour tous les entiers ! Pourrais-tu essayer de trouver également cette formule ?

Ta dernière formule est évidente : la suite `v_n=u_n+u_(n-1)` est une suite arithmétique de premier terme `v_1=1+3=4` et de raison 3.
Donc : `v_n=3*(n-1)+4=3n+1 iff u_n+u_(n-1)=3n+1`

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Re: Suites numériques : Détermination d'une formule explicite

Message  carole le Mar 17 Mai - 19:23

Je reprends les résultats de kyu~ pour mon raisonnement.
Pour n pair on a trouvé: `u_n=3/2n+3`
Pour n impair on a trouvé: `u_n=3/2n-1/2`

On constate qu' on doit ajouter/retrancher une constante à `3/2n` afin de trouver `u_n`.
La différence de ce qu' on ajoute vaut `7/2` et la moyenne des termes à ajouter vaut `5/4`.

En effet:
`5/4+7/4=3` et `5/4-7/4=-1/2`
`u_n=3/2n+5/4+-7/4`

Il suffit donc de distinguer les cas pour lesquels on ajoute respectivement retranche `7/4` pour obtenir le bon résultat.
Pour n impair on doit retrancher `7/4` et pour n pair on doit ajouter `7/4`.
En ajoutant `7/4*(-1)^n` on distingue les cas n pair et impair.

Donc la bonne formule est bien:
`u_n=3/2n+5/4+(-1)^n7/4`
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Mer 18 Mai - 15:15

Encore une belle question résolue !!
J'ai donc eu raison d'attendre aussi longtemps pour avoir une réponse ... Smile
20 points cadeau, comme toujours ... Smile
Cordialement, G. Lorang
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