Suites numériques : Empilement de boîtes.
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Suites numériques : Empilement de boîtes.
Un commerçant souhaîte empiler 800 boîtes de conserve de la manière suivante :
1) Les boîtes sont placées les unes sur les autres en rangées horizontales.
2) La rangée inférieure contient au plus 100 boìtes.
3) Le nombre de boîtes diminue de 2 d'une rangée à l'autre, comme sur le schéma ci-dessous :
...UUUUUU
..UUUUUUUU
.UUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUU
De combien de façons le commerçant peut-il réaliser cet empilement ? Préciser pour chaque possibilité le nombre de rangées et le nombre de boîtes dans la 1re et dans la dernière rangée.
1) Les boîtes sont placées les unes sur les autres en rangées horizontales.
2) La rangée inférieure contient au plus 100 boìtes.
3) Le nombre de boîtes diminue de 2 d'une rangée à l'autre, comme sur le schéma ci-dessous :
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De combien de façons le commerçant peut-il réaliser cet empilement ? Préciser pour chaque possibilité le nombre de rangées et le nombre de boîtes dans la 1re et dans la dernière rangée.
Réponse
Soit `n` le nombre de rangées. La somme des `n` premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par :
`(n/2)(2a+d(n-1))`
où `d` est la difference entre les termes (dans notre cas -2) et `a` le premier terme (dans notre cas le nombre de boîtes de la rangée inférieure).
Comme cette somme est toujours égale à 800:
`(n/2)(2a-2(n-1))=800`
`iff n(a-n+1)=800`
`iff a=800/n+n-1`
Le nomre de rangées est forcément un diviseur de 800: `Div 800={1;2;4;5;8;10;16;20;25;32;40;50;80;100;160;200;400;800}`
Si `n=1`, on aurait une seule rangée avec toutes les 800 boîtes.
Si `n=2`, `a=(800/2)+2-1=401`.
Si `n=4`, `a=(800/4)+4-1=203`.
Si `n=5`, `a=(800/5)+5-1=164`.
Si `n=8`, `a=(800/8)+8-1=107`.
Si `n=10`, `a=(800/10)+10-1=89` et la première rangée aurait `89-2(10-1)=71` boîtes.
Si `n=16`, `a=(800/16)+16-1=65` et la première rangée aurait `65-2(16-1)=35` boîtes.
Si `n=20`, `a=(800/20)+20-1=59` et la première rangée aurait `59-2(20-1)=21` boîtes.
Si `n=25`, `a=(800/25)+25-1=56` et la première rangée aurait `56-2(25-1)=8` boîtes.
Si `n=32`, `a=(800/32)+32-1=56` et la première rangée aurait `56-2(32-1)=-6` boîtes, ce qui est impossible.
Si `n=40`, `a=(800/40)+40-1=59`. et la première rangée aurait `59-2(40-1)=-19` boîtes, ce qui est impossible.
...
Si `n>=32`, le nombre de boîtes de la première rangée devient donc négatif et deviendra plus petit après chaque étape.
Donc il existe 4 façons pour réaliser un tel empliment; on peut empiler soit 10 rangées, soit 16 rangées, soit 20 rangées, soit 25 rangées.
`(n/2)(2a+d(n-1))`
où `d` est la difference entre les termes (dans notre cas -2) et `a` le premier terme (dans notre cas le nombre de boîtes de la rangée inférieure).
Comme cette somme est toujours égale à 800:
`(n/2)(2a-2(n-1))=800`
`iff n(a-n+1)=800`
`iff a=800/n+n-1`
Le nomre de rangées est forcément un diviseur de 800: `Div 800={1;2;4;5;8;10;16;20;25;32;40;50;80;100;160;200;400;800}`
Si `n=1`, on aurait une seule rangée avec toutes les 800 boîtes.
Si `n=2`, `a=(800/2)+2-1=401`.
Si `n=4`, `a=(800/4)+4-1=203`.
Si `n=5`, `a=(800/5)+5-1=164`.
Si `n=8`, `a=(800/8)+8-1=107`.
Si `n=10`, `a=(800/10)+10-1=89` et la première rangée aurait `89-2(10-1)=71` boîtes.
Si `n=16`, `a=(800/16)+16-1=65` et la première rangée aurait `65-2(16-1)=35` boîtes.
Si `n=20`, `a=(800/20)+20-1=59` et la première rangée aurait `59-2(20-1)=21` boîtes.
Si `n=25`, `a=(800/25)+25-1=56` et la première rangée aurait `56-2(25-1)=8` boîtes.
Si `n=32`, `a=(800/32)+32-1=56` et la première rangée aurait `56-2(32-1)=-6` boîtes, ce qui est impossible.
Si `n=40`, `a=(800/40)+40-1=59`. et la première rangée aurait `59-2(40-1)=-19` boîtes, ce qui est impossible.
...
Si `n>=32`, le nombre de boîtes de la première rangée devient donc négatif et deviendra plus petit après chaque étape.
Donc il existe 4 façons pour réaliser un tel empliment; on peut empiler soit 10 rangées, soit 16 rangées, soit 20 rangées, soit 25 rangées.
Alain- Pro
- Messages : 70
Date d'inscription : 25/03/2011
Age : 27
Bravo !
Tu as parfaitement résolu le problème !
20 points cadeau !
Personnellement, j'aurais raisonné un peu avec des inégalités pour réduire le nombre d'essais :
Par exemple :
Le nombre de boîtes dans la 1re rangée est `<=100`, donc :
`a<=100 iff 800/n+n-1<=100 => n>8`, si l'on considère uniquement les diviseurs de 800.
Le nombre de boîtes dans la dernière rangée doit être positif, donc :
`a-2n+2>0 iff 800/n+n-1-2n+2>0 iff 800/n-n+1>0 iff 800/n>n-1`.
Ceci implique que `n` n'est pas trop grand et plus précisément : `n<=25`, si l'on considère uniquement les diviseurs de 800.
Donc : `8<n<=25`
Cordialement, G. Lorang
20 points cadeau !
Personnellement, j'aurais raisonné un peu avec des inégalités pour réduire le nombre d'essais :
Par exemple :
Le nombre de boîtes dans la 1re rangée est `<=100`, donc :
`a<=100 iff 800/n+n-1<=100 => n>8`, si l'on considère uniquement les diviseurs de 800.
Le nombre de boîtes dans la dernière rangée doit être positif, donc :
`a-2n+2>0 iff 800/n+n-1-2n+2>0 iff 800/n-n+1>0 iff 800/n>n-1`.
Ceci implique que `n` n'est pas trop grand et plus précisément : `n<=25`, si l'on considère uniquement les diviseurs de 800.
Donc : `8<n<=25`
Cordialement, G. Lorang
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