Suites numériques : Détermination d'une formule explicite
3 participants
Page 1 sur 1
Suites numériques : Détermination d'une formule explicite
On considère la suite numérique `(u_n)_(n>=1)` dont les premiers termes sont :
`u_1=1`, `u_2=6`, `u_3=4`, `u_4=9`, `u_5=7`, `u_6=12`, `u_7=10` etc.
(On ajoute et retranche successivement 5 et 2 respectivement )
Déterminer une formule qui donne explicitement `u_n` en fonction de `n`, pour tout `n>=1`.
`u_1=1`, `u_2=6`, `u_3=4`, `u_4=9`, `u_5=7`, `u_6=12`, `u_7=10` etc.
(On ajoute et retranche successivement 5 et 2 respectivement )
Déterminer une formule qui donne explicitement `u_n` en fonction de `n`, pour tout `n>=1`.
Re: Suites numériques : Détermination d'une formule explicite
(`u_0=3`)
si n est pair: `u_n=u_0+(n/2)*3`
si n est impair: `u_n=u_1+((n-1)/2)*3`
Exemples:
`u_0=3,u_2=3+1*(5-2)=6,u_4=3+2*(5-2)=9,...`
`u_1=1,u_3=1+1*(-2+5)=4,u_5=1+2*(-2+5)=7,...`
Justification:
`u_(n+2) = u_n + 3` (car `u_(n+2)=u_n+5-2` ou bien `u_(n+2)=u_n-2+5`, ce qui est la même chose)
Donc pour chaque nombre im/pair on ajoute 3 au premier terme.
2 est le `2/2`ier nombre pair après `u_0`, donc on ajoute 1 fois 3 à `u_0`. 4 est le `4/2`ième nombre pair après `u_0`, donc on ajoute 2 fois 3 à `u_0`.
Si n est pair, n est le `n/2`ième nombre pair après `u_0`, donc on ajoute `n/2`fois 3 à `u_0`.
Même idée pour les nombres impairs, 3 est le `(3-1)/2`ier nombre impair après 1, donc on ajoute 1 fois 3 à `u_1`.
Si n est impair, n est le `(n-1)/2`ième nombre impair après 1, donc on ajoute `(n-1)/2`fois 3 à `u_1`
J'ai aussi remarqué que:
`u_2=6 =3*n`
`u_3=4 =3*n -5` et `5=u_2-1`
`u_4=9 =3*n -3` et `3=u_3-1`
`u_5=7 =3*n -8` et `8=u_4-1`
(`u_2=6 =3*n -0 ; 0=1-1`)
`u_1=3*1+u_0-1 = 3+3-1 = 1`
`=>u_n=3*n-u_(n-1)-1`
Il apparaît qu'il s'agit bien une formule explicite (ou au moins une qui fonctionne pour les premiers termes de cette suite), mais je n'ai pas encore trouvée une bonne démonstration...
si n est pair: `u_n=u_0+(n/2)*3`
si n est impair: `u_n=u_1+((n-1)/2)*3`
Exemples:
`u_0=3,u_2=3+1*(5-2)=6,u_4=3+2*(5-2)=9,...`
`u_1=1,u_3=1+1*(-2+5)=4,u_5=1+2*(-2+5)=7,...`
Justification:
`u_(n+2) = u_n + 3` (car `u_(n+2)=u_n+5-2` ou bien `u_(n+2)=u_n-2+5`, ce qui est la même chose)
Donc pour chaque nombre im/pair on ajoute 3 au premier terme.
2 est le `2/2`ier nombre pair après `u_0`, donc on ajoute 1 fois 3 à `u_0`. 4 est le `4/2`ième nombre pair après `u_0`, donc on ajoute 2 fois 3 à `u_0`.
Si n est pair, n est le `n/2`ième nombre pair après `u_0`, donc on ajoute `n/2`fois 3 à `u_0`.
Même idée pour les nombres impairs, 3 est le `(3-1)/2`ier nombre impair après 1, donc on ajoute 1 fois 3 à `u_1`.
Si n est impair, n est le `(n-1)/2`ième nombre impair après 1, donc on ajoute `(n-1)/2`fois 3 à `u_1`
J'ai aussi remarqué que:
`u_2=6 =3*n`
`u_3=4 =3*n -5` et `5=u_2-1`
`u_4=9 =3*n -3` et `3=u_3-1`
`u_5=7 =3*n -8` et `8=u_4-1`
(`u_2=6 =3*n -0 ; 0=1-1`)
`u_1=3*1+u_0-1 = 3+3-1 = 1`
`=>u_n=3*n-u_(n-1)-1`
Il apparaît qu'il s'agit bien une formule explicite (ou au moins une qui fonctionne pour les premiers termes de cette suite), mais je n'ai pas encore trouvée une bonne démonstration...
kyu~- Mini
- Messages : 6
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Pas mal pour le début ...
Je m'attendais à obtenir une formule qui distingue les cas `n` pair ou impair. Mais il existe une formule dans laquelle on n'a pas besoin de faire cette distinction, qui fonctionne pour tous les entiers ! Pourrais-tu essayer de trouver également cette formule ?
Ta dernière formule est évidente : la suite `v_n=u_n+u_(n-1)` est une suite arithmétique de premier terme `v_1=1+3=4` et de raison 3.
Donc : `v_n=3*(n-1)+4=3n+1 iff u_n+u_(n-1)=3n+1`
Ta dernière formule est évidente : la suite `v_n=u_n+u_(n-1)` est une suite arithmétique de premier terme `v_1=1+3=4` et de raison 3.
Donc : `v_n=3*(n-1)+4=3n+1 iff u_n+u_(n-1)=3n+1`
Re: Suites numériques : Détermination d'une formule explicite
Je reprends les résultats de kyu~ pour mon raisonnement.
Pour n pair on a trouvé: `u_n=3/2n+3`
Pour n impair on a trouvé: `u_n=3/2n-1/2`
On constate qu' on doit ajouter/retrancher une constante à `3/2n` afin de trouver `u_n`.
La différence de ce qu' on ajoute vaut `7/2` et la moyenne des termes à ajouter vaut `5/4`.
En effet:
`5/4+7/4=3` et `5/4-7/4=-1/2`
`u_n=3/2n+5/4+-7/4`
Il suffit donc de distinguer les cas pour lesquels on ajoute respectivement retranche `7/4` pour obtenir le bon résultat.
Pour n impair on doit retrancher `7/4` et pour n pair on doit ajouter `7/4`.
En ajoutant `7/4*(-1)^n` on distingue les cas n pair et impair.
Donc la bonne formule est bien:
`u_n=3/2n+5/4+(-1)^n7/4`
Pour n pair on a trouvé: `u_n=3/2n+3`
Pour n impair on a trouvé: `u_n=3/2n-1/2`
On constate qu' on doit ajouter/retrancher une constante à `3/2n` afin de trouver `u_n`.
La différence de ce qu' on ajoute vaut `7/2` et la moyenne des termes à ajouter vaut `5/4`.
En effet:
`5/4+7/4=3` et `5/4-7/4=-1/2`
`u_n=3/2n+5/4+-7/4`
Il suffit donc de distinguer les cas pour lesquels on ajoute respectivement retranche `7/4` pour obtenir le bon résultat.
Pour n impair on doit retrancher `7/4` et pour n pair on doit ajouter `7/4`.
En ajoutant `7/4*(-1)^n` on distingue les cas n pair et impair.
Donc la bonne formule est bien:
`u_n=3/2n+5/4+(-1)^n7/4`
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
BRAVO !
Encore une belle question résolue !!
J'ai donc eu raison d'attendre aussi longtemps pour avoir une réponse ...
20 points cadeau, comme toujours ...
Cordialement, G. Lorang
J'ai donc eu raison d'attendre aussi longtemps pour avoir une réponse ...
20 points cadeau, comme toujours ...
Cordialement, G. Lorang
Sujets similaires
» Suites numériques : Empilement de boîtes.
» Suites numériques : Suite harmonique (OMB Maxi)
» Formule de Pick
» 06 Suites, indices et limites
» Déterminer la base d'un trapèze
» Suites numériques : Suite harmonique (OMB Maxi)
» Formule de Pick
» 06 Suites, indices et limites
» Déterminer la base d'un trapèze
Page 1 sur 1
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
|
|