Géométrie : Calcul d'une aire comprise entre des quarts de cercle
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Re: Géométrie : Calcul d'une aire comprise entre des quarts de cercle
Considérons le plan `(D,vec(DC),vec(DA))`
Soient E,F,G,et H les points d' intersection des quarts de cercles.
Alors `E(1/2;(2-sqrt(3))/2), F((sqrt(3))/2;1/2), G(1/2;(2-sqrt(3))/2)` et `H((2-sqrt(3))/2;1/2)`
Calculons d' abord l' aire du carré EFGH:
`Aire(carré)=EF^2=((sqrt(3))/2-1/2)^2+(1/2-(2-sqrt(3))/2)^2=2*(sqrt(3)-1)^2/4=2-sqrt(3)`
Calculons puis l' angle `hat(EDF)` à l' aide du théorème de Pythagore généralisé:
`EF^2=DF^2+DE^2-2*DE*DF*cos(hat(EDF))
`iff cos hat(EDF)=(DF^2+DE^2-EF^2)/(2*DE*DF)=sqrt(3)/2
`rArr hat(EDF)= (pi)/6
Calculons maintenant l' aire de l' arc circulaire EF:
Aire(arc)=`pi/12
Calculons encore l' aire du triangle DEF:
Aire(triangle)=`1/2*DE*DF*sin(pi/6)=1/4
Calculons enfin l' aire de la partie bleue:
`Aire=4*(Aire(arc)-Aire`(triangle)`)+Aire(carré)
`=4*(pi/12-1/4)+2-sqrt(3)
`=pi/3-sqrt(3)+1
J' espère que je ne me suis pas trompée quelque part.
Soient E,F,G,et H les points d' intersection des quarts de cercles.
Alors `E(1/2;(2-sqrt(3))/2), F((sqrt(3))/2;1/2), G(1/2;(2-sqrt(3))/2)` et `H((2-sqrt(3))/2;1/2)`
Calculons d' abord l' aire du carré EFGH:
`Aire(carré)=EF^2=((sqrt(3))/2-1/2)^2+(1/2-(2-sqrt(3))/2)^2=2*(sqrt(3)-1)^2/4=2-sqrt(3)`
Calculons puis l' angle `hat(EDF)` à l' aide du théorème de Pythagore généralisé:
`EF^2=DF^2+DE^2-2*DE*DF*cos(hat(EDF))
`iff cos hat(EDF)=(DF^2+DE^2-EF^2)/(2*DE*DF)=sqrt(3)/2
`rArr hat(EDF)= (pi)/6
Calculons maintenant l' aire de l' arc circulaire EF:
Aire(arc)=`pi/12
Calculons encore l' aire du triangle DEF:
Aire(triangle)=`1/2*DE*DF*sin(pi/6)=1/4
Calculons enfin l' aire de la partie bleue:
`Aire=4*(Aire(arc)-Aire`(triangle)`)+Aire(carré)
`=4*(pi/12-1/4)+2-sqrt(3)
`=pi/3-sqrt(3)+1
J' espère que je ne me suis pas trompée quelque part.
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
PARFAIT !!!! BRAVO !!!
Très bien, 20 points cadeau pour toi.
Voici ma solution. J'espère qu'elle te plaît ...
Avec les notations de la figure, on a le système :
`{(4x+4y+z=1),(3x+2y+z=pi/4),(2x+y+z=pi/3-sqrt(3)/4):}`
La 1re équation est obtenue en calculant l'aire du carré, la 2e en calculant l'aire d'un quart de cercle. La dernière équation est plus subtile. On calcule l'aire de la partie colorée en rosé, qui est la somme de deux secteurs circulaires d'angle `pi/3` et de rayon 1, dont il faut retrancher l'aire du triangle équilatéral DCE.
La solution du système peut être trouvée sans peine ... :
`x=1/12 (-12 + 6 sqrt(3) + pi)`
`y=1/12 (12 - 3 sqrt(3) - 2 pi)`
`z=1 - sqrt(3)+ pi/3`
Amicalement, G. Lorang
P.S: Merci à M. Claude Krack, qui a proposé ce problème.
Voici ma solution. J'espère qu'elle te plaît ...
Avec les notations de la figure, on a le système :
`{(4x+4y+z=1),(3x+2y+z=pi/4),(2x+y+z=pi/3-sqrt(3)/4):}`
La 1re équation est obtenue en calculant l'aire du carré, la 2e en calculant l'aire d'un quart de cercle. La dernière équation est plus subtile. On calcule l'aire de la partie colorée en rosé, qui est la somme de deux secteurs circulaires d'angle `pi/3` et de rayon 1, dont il faut retrancher l'aire du triangle équilatéral DCE.
La solution du système peut être trouvée sans peine ... :
`x=1/12 (-12 + 6 sqrt(3) + pi)`
`y=1/12 (12 - 3 sqrt(3) - 2 pi)`
`z=1 - sqrt(3)+ pi/3`
Amicalement, G. Lorang
P.S: Merci à M. Claude Krack, qui a proposé ce problème.
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