DL (développements limités majorations tayloriennes)

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DL (développements limités majorations tayloriennes)

Message  canta le Dim 13 Mai - 17:08

Une personne s’y connaît-elle dans ces exercices, merci
car je suis nulle de chez nulle dans ces exos

voici l'énoncé :

Soit la fonction `f` définie sur l’intervalle [0 , 1] par `f(t)=e^t`

1° Montrer que pour tout réel t de `[0,1]` on a : `1≤ e^t ≤ e` (1)
Soit x un réel de `[0,1]` ; en intégrant de 0 a x les inégalités précédentes,
démontrer que l’on a :
`1 + x ≤ e^x ≤ 1 + e*x` (2)

2° En intégrant les inégalités (2) de 0 à x, pour tout x de `[0,1]`,
Montrer qu’on a :

`1+ x + (x^2 / 2) ≤ e^x ≤ 1 + x+e*(x^2 / 2)`

3° Interpréter graphiquement ce résultat dans un repère orthonormal en considérant, pour x dans [0 , 1], les arcs de courbe d’équations respectives :

`y = 1 + x + (x^2 / 2)` , `y = e^x` , `y = 1 + x + e*(x^2 / 2)`

4° Sachant que sur [0 , 1] on a `│f''(t)│≤ e`, écrire l’inégalité de Taylor correspondante ; donne-t-elle un meilleur encadrement de `e^x` que le résultat précédent ?

canta
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Bienvenue !

Message  G. Lorang le Dim 13 Mai - 19:43

Cher canta, on veut bien t'aider sur ce forum, mais d'abord tu dois apprendre à taper correctement tes formules. J'espère que tu utilises Firefox ?
Tu dois impérativement lire le mode d'emploi du forum, puis vérifier si j'ai bien corrigé l'énoncé de ton exercice.
Si tu confirmes, je vais poster la réponse.

Indication pour régler les points (1) et (2) : si `f(t)<=g(t)` sur `[0,1]`, alors `int_0^xf(t)dt <= int_0^xg(t)dt` , pour tout x dans [0,1]


Dernière édition par G. Lorang le Lun 14 Mai - 13:17, édité 1 fois
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Message  canta le Dim 13 Mai - 20:13

je n'arrive pas a voir si la correction est bonne car je ne vois que les questions, le reste n'apparaît plus.
je te remercie de me venir en aide pour que je puisses bien utiliser le forum. Excuse moi si je fais des erreurs

canta
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Réponse 1°

Message  G. Lorang le Lun 14 Mai - 13:16

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur [0,1], on a :
`e^0<=e^t<=e^1` pour tout réel t dans [0,1]
Donc : `1<=e^t<=e` pour tout réel t dans [0,1].

Essaie maintenant de faire la suite : il suffit d'utiliser l'indice que je t'ai donné dans le post précédent.

Cordialement G. Lorang
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Message  canta le Lun 14 Mai - 18:11

merci beaucoup de m'aider votre forum est vraiment sympa, il faudra que je prenne l'habitude de bien m'en servir sans trop faire d'erreur. encore merci, maintenant je vais me mettre au boulot et c'est pas gagné

je compte sur toi pour me dire quand je fais une erreur sur le forum, merci

canta
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Encore un coup de pouce

Message  G. Lorang le Lun 14 Mai - 19:27

Comme `1<=e^t<=e` sur [0,1]
on a : `int_0^x(1)dt <= int_0^x(e^t)dt<= int_0^x(e)dt` , pour tout x dans [0,1]
`iff (x-0)<=(e^x-e^0)<=(e*x-e*0)`, pour x dans [0,1]
`iff x<=e^x-1<=e*x`
`iff 1+x<=e^x<=1+e*x`
Ceci termine le point 1°
A toi d'essayer le point 2° qui est très semblable...
Cordialement G. Lorang
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Re: DL (développements limités majorations tayloriennes)

Message  canta le Lun 14 Mai - 20:44

merci a toi de m'aider si bien, j'ai du mal a comprendre mais vu que tu m'as bien aider pour le 1°, je vais me mettre a fond dans 2° avec ton exemple du 1°.
encore merci
a bientôt

canta
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Message  canta le Mar 15 Mai - 1:14

Veuillez m'excuser Monsieur, de vous avoir tutoyé, je ne savais pas que vous étiez un professeur.
A partir de ce jour je dirais "vous".

canta
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Message  canta le Mar 15 Mai - 11:38

pourriez vous s'il vous plaît me donner un lien vers ce cours ou je pourrais étudier et comprendre car pour l'instant je n'y arrive
pas et je ne suis pas sur le forum pour que l'on me donne toutes les réponses, je suis ici pour essayer de comprendre.
merci

canta
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Cours

Message  G. Lorang le Mer 16 Mai - 20:56

Cher canta,
Quelles sont tes bases en mathématiques ?
De quel cours as-tu besoin exactement ?
En cherchant un peu sur internet, tu devrais facilement trouver des cours sur n'importe quel sujet : intégration, calcul différentiel ...
Il me semblerait naturel que ton prof a également fait un cours ?
Comme je l'ai déjà dit, le point 2° de l'exercice est analogue au point 1°.
Si tu n'y arrives toujours pas, je vais poster la réponse.
Cordialement G. Lorang


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Message  canta le Jeu 17 Mai - 8:06

Monsieur, en mathématiques je ne suis pas trop à l'aise et je n'ai pas de prof car c'est des cours par correspondance.
si cela vous ennuis pas veuillez me laisser encore jusqu'à la fin de la semaine pour réfléchir avant de poster la réponse.
je vous en remercie

canta
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Ok !

Message  G. Lorang le Jeu 17 Mai - 10:12

Alors bon courage !
Cordialement G. Lorang
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Message  canta le Dim 20 Mai - 18:44

je suis désolée mais je n'y arrive pas
je n'y comprend absolument rien

canta
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Point 2°

Message  G. Lorang le Lun 21 Mai - 8:22

D'après le point 1, comme `1+t<=e^t<=1+e*t` sur [0,1]
on a : `int_0^x(1+t)dt <= int_0^x(e^t)dt<= int_0^x(1+e*t)dt` , pour tout x dans [0,1]
`iff (x+x^2/2-0)<=(e^x-e^0)<=(x+e*x^2/2-0)`, pour x dans [0,1]
`iff x+x^2/2<=e^x-1<=x+e*x^2/2`
`iff 1+x+x^2/2<=e^x<=1+x+e*x^2/2`
Ceci termine le point 2°

Ton problème c'est que tu n'as pas les bases théoriques.
Il faut commencer par apprendre ton cours.

Cordialement G. Lorang
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Message  canta le Lun 21 Mai - 18:19

Bonsoir M.G. Lorang
Vous avez raison, je ne connais pas bien les bases et sur mon livre, j'ai du mal a comprendre car il n'y a qu'un exemple et étant donner que je ne suis pas trop bonne en maths cela n'arrange rien.
j'ai essayer de faire la 3ème question pouvez vous s'il vous plaît me dire si c'est juste, merci

comme la fonction exponentielle est encadrée par les fonctions
x --> 1+x+x²/2 et x --> 1+x+ex²/2 pour x dans [0.1]

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Ok

Message  G. Lorang le Lun 21 Mai - 18:26

Pour le point 3° tu dois ajouter que les graphes des trois fonctions sont situés l'un en-dessous de l'autre sur [0,1].
Il reste à faire le 4°, c'est le plus dur. Commence par chercher ce que c'est que l'inégalité de Taylor ...
Cordialement G. Lorang
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Message  canta le Lun 21 Mai - 19:34

merci pour votre aide

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Message  canta le Lun 21 Mai - 20:56

Bonsoir, M.G. Lorang


pour l'exercice 4:

J’ai utilisée / pour les traits des valeurs absolues.
Donc j’ai tapé sur 2 au lieu de /2.
/f(x)-f(0)-(x-0)f’(0)/ ≤e/x-0/²sur2
/e^x-1-x*1/ ≤ex²/2
/e^x-1-x/ ≤ex²/2
Si / w / ≤ A alors –A ≤ w ≤ A

veuillez s'il vous plaît, me dire si j'ai compris ce cours qui n'est pas très évident pour moi

merci

canta
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