OMB-Maxi Finale 2009
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OMB-Maxi Finale 2009
Question 1
Soit `M` et `N`, respectivement, des points des côtés `[AB]` et `[BC]` d'un rectangle . Soit `a` l'aire du triangle `AMD`, `b` celle de `MBN` et `c` celle de `NCD` .
Exprimer en fonction de `a`, `b` et `c` l'aire du triangle `DMN`.
Question 2
Déterminer tous les triplets de nombres naturels `(x,y,z)` tels que
`x/7+y/11+z/13=0,946 053 946 053...
(le membre de droite est un nombre décimal illimité périodique, de période 6).
Question 3
Prouver qu'il n'existe pas de fonction `f:RR->RR` telle que pour tous réels `x` et `y`,
`f(x+f(y^3))=y+f(x^3)`
Question 4
Deux cercles `C_1` et `C_2` se coupent en deux points distincts `P` et `Q`. Soit `R` sur `C_1` et `S` sur `C_2` tels que `R`, `Q` et `S` soient alignés. Les droites `(RP)` et `(SP)` recoupent `C_1` et `C_2` respectivement en `N` et `M`. Soit `T` l'intersection de et `(RM)` et `(SN)`. Montrer que le triangle `TMN` est équilatéral si et seulement si `(MN)` est tangente aux deux cercles.
Soit `M` et `N`, respectivement, des points des côtés `[AB]` et `[BC]` d'un rectangle . Soit `a` l'aire du triangle `AMD`, `b` celle de `MBN` et `c` celle de `NCD` .
Exprimer en fonction de `a`, `b` et `c` l'aire du triangle `DMN`.
Question 2
Déterminer tous les triplets de nombres naturels `(x,y,z)` tels que
`x/7+y/11+z/13=0,946 053 946 053...
(le membre de droite est un nombre décimal illimité périodique, de période 6).
Question 3
Prouver qu'il n'existe pas de fonction `f:RR->RR` telle que pour tous réels `x` et `y`,
`f(x+f(y^3))=y+f(x^3)`
Question 4
Deux cercles `C_1` et `C_2` se coupent en deux points distincts `P` et `Q`. Soit `R` sur `C_1` et `S` sur `C_2` tels que `R`, `Q` et `S` soient alignés. Les droites `(RP)` et `(SP)` recoupent `C_1` et `C_2` respectivement en `N` et `M`. Soit `T` l'intersection de et `(RM)` et `(SN)`. Montrer que le triangle `TMN` est équilatéral si et seulement si `(MN)` est tangente aux deux cercles.
Dernière édition par G. Lorang le Mar 1 Fév - 18:34, édité 2 fois
Question 1
Considérons un repère d' origine A.
Donnons les coordonnées (x,y) au point C, (0,u) au point M et (v,y) au point N.
Alors on a:
`a=(x*u)/2
`c=(y*v)/2
`b=((x-v)(y-u))/2
`=(xy-ux-vy+uv)/2
`=(xy+uv)/2-a-c
D' où
`a+b+c=(xy+uv)/2
Or l' aire du triangle MND est égal à
`|dét(vec(MN),vec(MD))|/2`
`=|(x-v quad,x),(y-u quad,-u)|/2
`=|-ux-uv-xy+ux|/2
`=(xy+uv)/2
`=a+b+c
(Le déterminant de deux vecteurs vaut l' aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs.)
Donnons les coordonnées (x,y) au point C, (0,u) au point M et (v,y) au point N.
Alors on a:
`a=(x*u)/2
`c=(y*v)/2
`b=((x-v)(y-u))/2
`=(xy-ux-vy+uv)/2
`=(xy+uv)/2-a-c
D' où
`a+b+c=(xy+uv)/2
Or l' aire du triangle MND est égal à
`|dét(vec(MN),vec(MD))|/2`
`=|(x-v quad,x),(y-u quad,-u)|/2
`=|-ux-uv-xy+ux|/2
`=(xy+uv)/2
`=a+b+c
(Le déterminant de deux vecteurs vaut l' aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs.)
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
A corriger !
carole a écrit:Considérons un repère d' origine A.
`c=(y*v)/2
Il faudrait dire : `c=(y(x-v))/2`, non ?
Cordialement, G. Lorang
Re: OMB-Maxi Finale 2009
Je reprends les calculs à partir de la faute:
`b=((x-v)*(y-u))/2
`=(xy-ux-vy+uv)/2
`=c-a+(uv)/2
Donc `(uv)/2=a+b-c
Or l' aire du triangle vaut (d' après le calcul avec le déterminant,il y avait encore une faute)
`Aire=(xy-uv)/2=-a-b+c+(xy)/2`
`b=((x-v)*(y-u))/2
`=(xy-ux-vy+uv)/2
`=c-a+(uv)/2
Donc `(uv)/2=a+b-c
Or l' aire du triangle vaut (d' après le calcul avec le déterminant,il y avait encore une faute)
`Aire=(xy-uv)/2=-a-b+c+(xy)/2`
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Question 2
`0.946053946053...=946053/999999=947/1001` or `7*11*13=1001
Donc
`x/7+y/11+z/13=947/1001
`iff 143x+91y+77z=947
Si on retranche `2*(143+91+77)`, il reste:
`143(x-2)+91(y-2)+77(z-2)=325
Or `325=2*91+143
Donc une solution est (3;4;2).
Une autre solution semble improbable, mais je ne sais pas trop comment le démontrer.
Donc
`x/7+y/11+z/13=947/1001
`iff 143x+91y+77z=947
Si on retranche `2*(143+91+77)`, il reste:
`143(x-2)+91(y-2)+77(z-2)=325
Or `325=2*91+143
Donc une solution est (3;4;2).
Une autre solution semble improbable, mais je ne sais pas trop comment le démontrer.
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
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