Test d'entraînement OMB MAXI 2010/2011

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas

Test d'entraînement OMB MAXI 2010/2011

Message  G. Lorang le Ven 12 Nov - 9:40

Veuillez poster les réponses dans ce forum. Indiquez dans le titre le numéro de la question !
N'indiquez pas seulement la bonne réponse, mais rédigez des réponses complètes !






Dernière édition par G. Lorang le Lun 24 Jan - 4:48, édité 1 fois
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Réponse aux questions 3 et 6

Message  carole le Dim 14 Nov - 9:52

Question 3
Soit x le nombre de participants et y le total exigé.
On a le système d' équations suivants:
`{x⋅75=y-440x⋅80=y+440
D' où:
`x⋅75+440=x⋅80-440
`⇔5⋅x=880
`⇔x=176
Il y a donc 176 participants au voyage!

Question 6
Un nombre est divisible par 99 ssi il est divisible à la fois par 9 et 11.
`a,b∈{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}

D' où il faut que
1) `2⋅a+9⋅b` est multiple de 9
or `9⋅b` est multiple de 9
d' où `2⋅a` doit également être un multiple de 9
donc `a=9

2) Le nombre abbbbbbbbba est divisible par 11
`⇔2⋅a+4⋅b-5⋅b=11⋅y
`⇔18-b=11⋅y
`⇔b=7

Le nombre cherché bba vaut donc 779
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Bravo !

Message  G. Lorang le Dim 14 Nov - 10:29

Très bien ! 20 points pour toi !
Smile
G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

1/7/9

Message  kyu~ le Jeu 25 Nov - 21:25

1)
Sur le deuxième cube, on voit un carré noir, une croix noire et un cercle blanc.
Sur le troisième cube, on voit un carré noir, une croix blance et un carré blanc.
Donc en dessous du troisième cube, il y a la croix noire, et à la gauche il y a le cercle blanc.
La seule face qu'on ne connait pas encore est l'arrière du troisième cube, il doit s'agit forcément du disque noir.
La face opposée au disque noir est donc le carré noir. (Réponse C)

7)
Fraction 1:`a/(3a)`
Fraction 2: `(a/(3a))^(-1) = (3a)/a =(9a)/(3a)`
Somme des fractions:
`a/(3a) + (9a)/(3a)=(a+9a)/(3a)=(10a)/(3a)=10/3`
(Réponse A)

9)
`x^-1 < x` On multiplie par x>0
`<=> 1 < x^2`
`<=> x>1` (ou x<-1, mais cette solution est à écarter)

`x < sqrt(2x)` On prend le carrée des deux membres (x>0 et sqrt(2x)>0)
`<=> x^2 < 2x` On divise par x>0
`<=> x < 2`
On a donc: `x in ]1,2[` (Réponse D)
avatar
kyu~
Mini
Mini

Messages : 6
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

BRAVO kyu~ !

Message  G. Lorang le Dim 28 Nov - 20:25

20 points cadeau pour toi !
Cordialement, G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Question 11 et 15

Message  kyu~ le Ven 3 Déc - 19:34

Question 11:
Prenons le repère `(D,vec(DC),vec(DA))` (avec DC=DA=1)
`{E}= (MC) nn (NB)` et `{F}=(AP) nn (BN)`
MC a pour équation cartésienne `y=-(MD)/(DC)x+k`
or M=mil[A,D] donc le point M a pour coordonnées (0,1/2) donc k=-1/2
`=>MC-=y=-1/2x+1/2`
`NB_|_MC <=>NB-=y=2x+k'` or `k'=-1` car `B(1,1) in NB`
`=>NB-=y=2x-1`
`AP //// MC` et `A(0,1) in AP <=> AP-=y=-1/2x+1`

Maintenant on peut calculer les coordonnées des points E et F:
`E in (MC) nn (NB) <=> -1/2x+1/2 = 2x-1 <=>-1/2x+3/2=2x <=> -x+3=4x <=> 5x=3 <=> x=3/5`
`E in (NB) <=> y=2*3/5-1=1/5`
`E(3/5,1/5)

`F in (AP) nn (NB) <=> -1/2x+1=2x-1 <=> -x+4=4x <=> x=4/5`
`F in (NB) <=> y=2*4/5-1=3/5`
`F(4/5,3/5)

On peut donc calculer les longueurs ME et EF du rectangle:
`ME=sqrt((3/5-0)^2+(1/5-1/2)^2)=sqrt(9/25+9/100)=sqrt(45/100)=sqrt(9)/sqrt(20)`
`MF=sqrt((4/5-3/5)^2+(3/5-1/5)^2)=sqrt(1/25+4/25)=sqrt(1)/sqrt(5)`
Aire du rectangle= `ME*MF=sqrt(9)/sqrt(20)*sqrt(1)/sqrt(5)=sqrt(9)/sqrt(100)=3/10
=> Réponse C
(Mathplayer semble avoir des problèmes à afficher correctement les racines carrées et les fractions en même temps...)

Question 15:
`10! =1*2*3*4*5*6*7*8*9*10`
`=2*3*(2*2)*5*(2*3)*7*(2*2*2)*(3*3)*(2*5)` (Décomposition de 10! en un produit de facteurs premiers)
`=2^8 * 3^4 * 5^2 * 7^1`
nombre de diviseurs `=(8+1)(4+1)(2+1)(1+1)=270`
(Réponse E)
avatar
kyu~
Mini
Mini

Messages : 6
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

BRAVO !!!

Message  G. Lorang le Sam 4 Déc - 7:16

Bien rédigé et tout correct ! cheers
Je t'accorde 30 points cadeaux pour tes réponses !
Cordialement, G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Test d'entraînement OMB MAXI 2010/2011

Message  sico-cosi le Mer 5 Jan - 18:14

carole a écrit:Question 3

Question 6
Un nombre est divisible par 99 ssi il est divisible à la fois par 9 et 11.
`a,b∈{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}

D' où il faut que
1) `2⋅a+9⋅b` est multiple de 9
or `9⋅b` est multiple de 9
d' où `2⋅a` doit également être un multiple de 9
donc `a=9

2) Le nombre abbbbbbbbba est divisible par 11
`⇔2⋅a+4⋅b-5⋅b=11⋅y
`⇔18-b=11⋅y
`⇔b=7

Le nombre cherché bba vaut donc 779

Bonjour,
Je voulais demander pourquoi doit-on faire l'étape marquée en bleu ?
De plus je me suis demandé que le texte ne dit pas que a et b sont des chiffres distincts, de sorte qu'on peut aussi dire que le nombre recherché est 999 ou y a t il une faute dans mon raisonnement ?

merci en avance

cordialement
sico cosi Smile

sico-cosi
New
New

Messages : 2
Date d'inscription : 05/01/2011

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Test d'entraînement OMB MAXI 2010/2011

Message  carole le Mer 5 Jan - 18:48

Bonjour sico-cosi!
On ne doit pas faire l' étape marquée en bleu, mais j' ai voulu montrer qu' il faut retrancher `5b` de `2a+4b` à cause règle de divisibilité par 11.
J' aurais pu écrire `(a+b+b+b+b+a)-(b+b+b+b+b)`, ce qui aurait signifié la même chose.

Si les chiffres a et b étaient identiques, alors on n' aurait pas besoin de nommer deux inconnues donc il est sous-entendu que a et b soient distincs. (Si je ne me trompe pas Wink )
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

question 8

Message  carole le Mer 5 Jan - 19:12

Question 8:

Le plus grand nombre de directions de droites qu' on peut former avec des paires de points d' un ensemble de 10 points est égal au nombre de combinaisons de 2 parmi 10, comme la droite passant "d' abord" par le point A et "puis" par un autre est la même que celle qui qui passe "d' abord" par B et "puis" par A.

On choisit d' abord un premier point et puis un deuxième (qui est différent du premier) dans l' ensemble et puis on divise le nombre de possibilités par 2 (pour ne pas compter deux fois la même droite) .
Ainsi on obtient:
`(10*9)/2=45

(Le nombre de combinaisons serait ici : `((10!)/(8!))/(2!) = (10*9)/(2*1)=45` ,mais on n' a pas forcément besoin Wink )
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

question 16

Message  sico-cosi le Mer 5 Jan - 21:15

`(21*n+4)/(14*n+3)`
`= (3*7*n+4)/(2*7*n+3)
`= [3*(7*n+1)+1]/[2*(7*n+1)+1]

pour que ce terme soit un entier, le numérateur doit être égal ou un muliple du dénominateur
càd.

`k*[3*(7*n+1)+1]=2*(7*n+1)+1 , k in ZZ^+
en simplifiant par (7n+1) et en faisant une soustraction de 1 sur chaque côté on obtient

`k*3=2
`<=> k=3//2
donc impossible
(A)

sico-cosi
New
New

Messages : 2
Date d'inscription : 05/01/2011

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Il y a malheureusement une faute à corriger ...

Message  G. Lorang le Jeu 6 Jan - 13:59

sico-cosi a écrit:

`k*[3*(7*n+1)+1]=2*(7*n+1)+1 , k in ZZ^+

en simplifiant par (7n+1) et en faisant une soustraction de 1 sur chaque côté on obtient

`k*3=2

Tu as mis le `k` du mauvais côté ! Il fallait écrire :
`3*(7*n+1)+1=k*2*(7*n+1)+k , k in ZZ^+

Ensuite, tu vois bien que si tu retranches 1 des deux membres tu ne peux pas simplifier par `7n+1` et tu n'obtiens pas l'équation :
`3=2*k`
mais plutôt :
`3u=2ku+k-1` avec `u=7n+1`

...

Donc, réfléchis encore !

Indice : recherche sur internet le théorème de Bezout ... qui es bien utile ici !

Cordialement, G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Question 17

Message  carole le Jeu 13 Jan - 16:42

Considérons d' abord seulement la face ADC.



Comme `AD=AC=DC=a` et `E` est le milieu de `DC`, on trouve que `AE=sqrt(3)/2*a`.
De même on trouve que `BE=sqrt(3)/2*a`

Maintenant on peut considérer le triangle ABE dont on connaît tous les côtés. (`AB=a`, `AE=sqrt(3)/2*a`, `BE=sqrt(3)/2*a`)

L' hauteur du triangle est:
`sqrt(3/4*a^2-(1/2*a)^2)`
`=sqrt(1/2*a^2)
`=sqrt(2)/2*a

D' où l' aire de la section ABE vaut:
`(sqrt(2)/2a*a)/2
`=a^2/4*sqrt(2)`

Donc la réponse B est correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Question 14

Message  carole le Jeu 13 Jan - 17:08



Considérons le carré dans la base (O;i;j):
`A(0;1)` `B(1;1)` `C(1;0)` `D(0;0)` `M(1;1/2)` `O(1/2;1/2)`

Donc `OM=1/2`
Comme le quadrilatère `MNOP` admet un axe de symmétrie passant par `O` et par `M`, il suffit de calculer les coordonnées de `N` ou `P` car le triangle `OMP` est l' image de `OMN` par cet axe!

Calculons les coordonnées de `N(x;y)`:
`N in (DM)` et `N in (AC)`
`iff y=1/2x` et `y=-x+1`
`iff 1/2x=-x+1
`iff x=2/3
d' où `y=1/3

`N(2/3;1/3)

Hauteur du triangle `OMN`:
`1/2-1/3=1/6

Comme l' aire du quadrilatère `MNOP` vaut le double de celle du triangle `OMN`, on trouve
`Aire=1/6*1/2=1/12

Donc la réponse C est correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Question 4

Message  carole le Jeu 13 Jan - 17:25

Pour chaque division euclidienne on a `R<D` (où `R` est le reste et `D` le diviseur).
Or, on a `D=16` donc `0<R<16`
Comme `R` est un entier naturel non nul, `R` peut prendre 15 valeurs différentes (1 à 15) telles que `N=16*Q+R` et `Q=R` (`N` étant la dividende).

Donc la bonne réponse est 15!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Question 13

Message  carole le Jeu 13 Jan - 17:40



Ici on voit que l' aire de la carafe est égale à celle des deux carrés.

Or, la longueur d' un côté du carré vaut `5sqrt(2)`. (Appliquer le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle isocèle dont l'hypoténuse (le diamètre d'un cercle) mesure 10 cm.)

D' où l' aire d' un carré vaut `50` `cm^2` et l' aire de la carafe `100` `cm^2`.
Donc la réponse D est correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Bravo !!! Question 14 revisitée

Message  G. Lorang le Ven 14 Jan - 9:32

Et merci pour les jolies figures !!!!

Pour la question 8 je t'accorde 10 points
Pour la question 17 : 20 points (figure magnifique !)
Pour la question 13 : encore 20 points !
Pour la question 14 : encore 20 points.

Concernant la question 14, on peut la résoudre à l'aide du théorème de Thalès. J'utilise les notations sur ta figure :
`(OM)/(AB)=(CM)/(CB)=1/2` donc `OM=1/2`
`(PM)/(PA)=(MB)/(AD)=1/2` donc `PM=1/3*AM`
De même : `NM=1/3*DM`.
Par conséquent `PN=1/3*AD=1/3`
L'aire du quadrilatère OPMN est donc `(1/3*1/2)/2=1/12`

Cordialement, G. Lorang


Dernière édition par G. Lorang le Ven 21 Jan - 9:56, édité 2 fois
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Il reste encore des questions à résoudre !

Message  G. Lorang le Ven 21 Jan - 9:54

S'il y a des questions qui vous paraissent trop difficiles, n'hésitez pas de me le signaler !
Je peux vous donner un coup de main ... Smile
Cordialement, G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Questions 5 et 20

Message  carole le Lun 9 Mai - 17:40

5. Il faut échanger au moins 5 fois des livres:
BCAFGED
BACFGED
ABCFGED
ABCFDEG
ABCDFEG
ABCDEFG

20. La suite a comme premier terme 1 et comme raison 2.
En effet: 1+2+4+8+16=31 et 2+4+8+16+32=62.
Le nième terme s' écrit toujours `2^(n-1)` et le dixième vaut donc `2^9=512.
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Très bien

Message  G. Lorang le Jeu 12 Mai - 18:21

J'ai enfin corrigé les 2 dernières questions.
Bravo, 10 points pour toi !
Cordialement, G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Test d'entraînement OMB MAXI 2010/2011

Message  Contenu sponsorisé


Contenu sponsorisé


Revenir en haut Aller en bas

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut

- Sujets similaires

 
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum