Algèbre : Un système classique
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Algèbre : Un système classique
Si `a`, `b`, `c` et `d` sont des réels tels que :
`a^2+b^2=1`
`c^2+d^2=1`
`ac-bd=1/2`
trouver `ad+bc` !
`a^2+b^2=1`
`c^2+d^2=1`
`ac-bd=1/2`
trouver `ad+bc` !
`sqrt(3)/2` ou `-sqrt(3)/2`
Elevons d' abord la troisième équation au carré:
`(ac-bd)^2=(1/2)^2
`iff a^2c^2-2abcd+b^2d^2=1/4
`iff 2abcd=a^2c^2+b^2d^2-1/4 ` (*)
or:
`(ad+bc)^2=a^2d^2+b^2c^2+2abcd
remplaçons par (*):
`(ad+bc)^2=a^2d^2+b^2c^2+a^2c^2+b^2d^2-1/4
`iff (ad+bc)^2=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)-1/4
`iff (ad+bc)^2=1-1/4=3/4
`iff ad+bc=sqrt(3)/2` ou `ad+bc=-sqrt(3)/2
`(ac-bd)^2=(1/2)^2
`iff a^2c^2-2abcd+b^2d^2=1/4
`iff 2abcd=a^2c^2+b^2d^2-1/4 ` (*)
or:
`(ad+bc)^2=a^2d^2+b^2c^2+2abcd
remplaçons par (*):
`(ad+bc)^2=a^2d^2+b^2c^2+a^2c^2+b^2d^2-1/4
`iff (ad+bc)^2=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)-1/4
`iff (ad+bc)^2=1-1/4=3/4
`iff ad+bc=sqrt(3)/2` ou `ad+bc=-sqrt(3)/2
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Bravo !
Effectivement, il y a deux possibilités !
L'année prochaine tu pourras résoudre le problème encore une fois, en utilisant les nombres complexes ...
20 points cadeau !!
Cordialement, G. Lorang
L'année prochaine tu pourras résoudre le problème encore une fois, en utilisant les nombres complexes ...
20 points cadeau !!
Cordialement, G. Lorang
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