Analyse : Comparaison de deux réels

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Analyse : Comparaison de deux réels

Message  G. Lorang le Ven 8 Oct - 9:55

Sans utiliser la calculatrice, comparer `1.0000000003/1.0000000002` à `1.0000000002/1.0000000001` .
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`1.0000000003/1.0000000002 < 1.0000000002/1.0000000001`

Message  carole le Dim 24 Oct - 19:52

`1.0000000003/1.0000000002 = (1.0000000002+0.0000000001)/1.0000000002=1+0.0000000001/1.0000000002`

et `1.0000000002/1.0000000001=(1.0000000001+0.0000000001)/1.0000000001=1+0.0000000001/1.0000000001`


D'où on doit comparer `1+0.0000000001/1.0000000002` à `1+0.0000000001/1.0000000001`.

On peut retrancher 1 aux deux réels et on compare `0.0000000001/1.0000000002` à `0.0000000001/1.0000000001`

Or `0.0000000001/1.0000000002 < 0.0000000001/1.0000000001`

et donc `1.0000000003/1.0000000002 < 1.0000000002/1.0000000001`
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Bravo !

Message  G. Lorang le Dim 24 Oct - 20:48

Bien raisonné ! 10 points cadeau pour toi !
J'avais pensé à la solution suivante :
Soit `x=10^(-10)`.
Les deux nombres sont : `a=(1+3x)/(1+2x)` et `b=(1+2x)/(1+x)`
Alors :
`(1+3x)/(1+2x)-(1+2x)/(1+x)`
`=((1+3x)(1+x)-(1+2x)^2)/((1+x)(1+2x))`
`=(1+4x+3x^2-1-4x-4x^2)/((1+x)(1+2x))`
`=(-x^2)/((1+x)(1+2x))`
Or, comme `x>0` , on a bien : `a-b<0` càd `a<b`
Cordialement, G. Lorang

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