Analyse : Centre de symétrie

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Analyse : Centre de symétrie

Message  G. Lorang le Ven 8 Oct - 9:31

1) La courbe d'équation `y=x^3+3x^2+3x+5` admet-elle un centre de symétrie ? Si oui, déterminer les coordonnées du centre de symétrie.
2) Même question pour la courbe d'équation `y=x^3+3x` .

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Solution

Message  Paul le Dim 9 Jan - 15:05

Regardons d'abord `f(x) = x^3+3x^2+3x +5`
Voilà la représentation graphique de la fonction f:



On a `f(-x)=-x^3+3x^2-3x+5!=-f(x)`
Donc f n'est pas une fonction impaire.
Notons S le point de symétrie. `S=(a,b)`
Déterminer a et b
Pour tout h`in RR^**` on a:

` f(a+h)+f(a-h) - 2f(a)= 0`
`iff ah^2+h^2=0 `
`iff a=-1`
Or `f(-1)=4`
`=> b=4`
Le point de symétrie de la fonction g a pour coordonnées (-1,4).

Ensuite regardons `g(x)=x^3+3x`
Voilà la représentation graphique de la fonction g:



Montrons que g est une fonction impaire

`g(-x)=-x^3-3x=-g(x)`

Donc g admet un point de symétrie.
Notons S le point de symétrie. `S=(a,b)`
Déterminer a et b

Pour tout h`in RR^**` on a:

` g(a+h)+g(a-h) - 2g(a)= 0`
`iff 6ah^2 =0`
`iff a=0`

De plus

`g(a)=g(0)=0`
` => b=0`

d'où `S=(0,0)`

Le point de symétrie de la fonction g a pour coordonnées (0,0).



Dernière édition par Paul le Dim 9 Jan - 15:53, édité 1 fois

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HMMMMMMMMMMMMM ...

Message  G. Lorang le Dim 9 Jan - 15:39

1) Tu vois bien sur le graphe de f que (-1,4) est un centre de symétrie !
Démontre-le !

Théorème : Le graphe d'un polynôme du 3e degré a toujours un centre de symétrie !


Dessine quelques polynômes du 3e degré avec Geogebra par exemple et tu verras que j'ai raison Smile ...

2) La réponse pour g est terminée dès que tu dis que c'est une fonction impaire ! Pas besoin du raisonnement avec a et b, qui est d'ailleurs faux !
Le théorème correct est le suivant :

Théorème : (a,b) est un centre de symétrie du graphe de la fonction f ssi pour tout h, `f(a+h)+f(a-h)=2b`. De plus, si `f(a)` existe, alors `b=f(a)`.


Tu peux appliquer ce théorème pour démontrer le 1er point (avec f). Bonne chance !!!
J'attends avec impatience ta nouvelle réponse corrigée ci-dessous !

Cordialement, G. Lorang



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Re: Analyse : Centre de symétrie

Message  carole le Dim 9 Jan - 16:16

L' équation du premier graphe peut encore s' écrire sous la forme `y=(x+1)^3+4`. Donc cette courbe est une translation de la courbe `y=x^3` d' une unité vers la gauche et 4 unités vers le haut. Or, le centre de symétrie (`S(0;0)`) de cette dernière courbe subit également une translation et on obtient donc les coordonnées `(-1;4)` pour la courbe `y=x^3+3x^2+3x+5`.
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Et voilà !

Message  G. Lorang le Dim 9 Jan - 16:20

Cette réponse très courte est parfaitement correcte !
Bravo ! Encore 10 points pour toi Carole !
J'accorde 20 points à Paul pour avoir corrigé ses réponses !
Cordialement, G. Lorang
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Re: Analyse : Centre de symétrie

Message  G. Lorang le Dim 9 Jan - 16:24

Paul a écrit:
On a `f(-x)=-x^3+3x^2-3x+5!=-f(x)`
Donc f n'est pas une fonction impaire.

Attention Paul : le centre de symétrie d'une fonction impaire est TOUJOURS (0,0) !
Bien quand même pour tes réponses ! Very Happy
Cordialement, G. Lorang
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