Algèbre : Calculer `x^3+1/x^3`
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Algèbre : Calculer `x^3+1/x^3`
Soit `x` un nombre réel positif tel que `(x+1/x)^2=5`. Que vaut alors `x^3+1/x^3` ?
`x^3+1/x^3=2*sqrt(5)`
Reprenons d' abord la première équation:
`(x+1/x)^2=5
`iff x+1/x=sqrt(5)` ou `x+1/x=-sqrt(5)` (à rejeter car `x>0` et donc `x+1/x>0`)
de plus:
`(x+1/x)^3=x^3+3x+3/x+1/x^3=x^3+1/x^3+3*(x+1/x)
d' où:
`(x+1/x)^3-3*(x+1/x)=x^3+1/x^3
remplaçons `x+1/x` par `sqrt(5)`:
`x^3+1/x^3=sqrt(5)^3-3*sqrt(5)
`iff x^3+1/x^3=5sqrt(5)-3sqrt(5) =2sqrt(5)
On a donc montré que `x^3+1/x^3=2sqrt(5)` si `(x+1/x)^2=5`.
`(x+1/x)^2=5
`iff x+1/x=sqrt(5)` ou `x+1/x=-sqrt(5)` (à rejeter car `x>0` et donc `x+1/x>0`)
de plus:
`(x+1/x)^3=x^3+3x+3/x+1/x^3=x^3+1/x^3+3*(x+1/x)
d' où:
`(x+1/x)^3-3*(x+1/x)=x^3+1/x^3
remplaçons `x+1/x` par `sqrt(5)`:
`x^3+1/x^3=sqrt(5)^3-3*sqrt(5)
`iff x^3+1/x^3=5sqrt(5)-3sqrt(5) =2sqrt(5)
On a donc montré que `x^3+1/x^3=2sqrt(5)` si `(x+1/x)^2=5`.
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
Re: Algèbre : Calculer `x^3+1/x^3`
merci à vous pareillement!
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
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