Trigonométrie: Tangentes entières

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Trigonométrie: Tangentes entières

Message  A. Weis le Lun 27 Sep - 21:15

Dans un triangle ABC, les tangentes des angles tan(A), tan(B) et tan(C) sont des nombres entiers positifs.

Combien y a-t-il de triangles de cette nature?

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1 seul type de triangles existe dont les tangentes sont "entiéres"

Message  carole le Mar 28 Sep - 20:03

Comme on se trouve dans un triangle, un angle ne peut mesurer pas plus que 180° (on résonne avec des angles non-orientés).
De plus, la tangente de cet angle est positive, donc nos trois angles doivent être compris entre 0° et 90°.

On sait que par exemple la tangente de 45° est 1 et que la tangente de la somme des deux autres angles doit donc être égale à -1.

Soit A=45°, alors B+C(=180°-A)=135°

Comme `tan^(-1)2≅63.43` et `tan^(-1)3≅71.57` et 63.43 +71.57 =135,
les angles B et C doivent mesurer respectivement 63.43° et 71.57°.

Lorsque un de ces angles devient plus grand on ne trouve plus des angles dont les tangentes sont des entiers positifs.

On ne pourrait non plus choisir un triangle rectangle isocèle(angles de 45°,45° et de 90°), car la tangente de 90° n' existe pas.

J' espère que je ne me suis pas trompée dans mon raisonnement Rolling Eyes
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Bravo !

Message  G. Lorang le Mer 29 Sep - 15:42

Tu as parfaitement raison ! Le seul point faible de ta solution est que tu travailles avec des valeurs approchées des angles...
(Tu aurais dû utilser la formule tan(x+y) ... comme ci-dessous.)

Voici comment j'ai raisonné moi-même :
Comme tu l'indiques, un triangle rectangle n'est pas possible.
Les trois angles doivent être aigus car sinon le triangle possède un angle <45°, dont la tangente <1.
`tan(C)=tan(180-A-B)=-tan(A+B)=(tan(A)+tan(B))/(tan(A)*tan(B)-1)`
Cette expression doit être un entier avec `tan(A)` et `tan(B)` des entiers positifs.
Si `tan(A)=1` alors `(tan(B)+1)/(tan(B)-1)` est un entier (à savoir 3 ou 2) `iff tan(B)=2` ou `tan(B)=3`. (Si `tan(B)` devient plus grand le quotient est compris entre 1 et 2.)
Si `tan(A)=2` alors `(tan(B)+2)/(2*tan(B)-1)` est un entier (à savoir 3 ou 1) `iff tan(B)=1` ou `tan(B)=3`. (Si `tan(B)` devient plus grand le quotient est <1.)
Si `tan(A)=3` alors `(tan(B)+3)/(3*tan(B)-1)` est un entier (à savoir 2 ou 1) `iff tan(B)=1` ou `tan(B)=2`. (Si `tan(B)` devient plus grand le quotient est <1.)
Si `tan(A)>=4` alors `(tan(B)+4)/(4*tan(B)-1)` n'est jamais un entier si `tan(A)` et `tan(B)` sont des entiers positifs.
Donc, quitte à permuter les trois angles, les tangentes cherchées valent 1, 2 ou 3.
(A une similitude près, il existe un seul triangle solution.)
J'espère que je n'ai rien oublié, dans la hâte ... Very Happy
Vous avez le droit de critiquer ma solution ...

10 points pour toi !
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