Arithmétique : Déterminer quatre entiers dont le produit est `8!`

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Arithmétique : Déterminer quatre entiers dont le produit est `8!`

Message  G. Lorang le Mer 2 Juin - 18:41

Déterminer les quatre entiers naturels `a`, `b`, `c`, et `d` dont le produit est `8!` et qui vérifient le système suivant :
`{(ab+a+b=524),(bc+b+c=146),(cd+c+d=104):}
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Message  G. Lorang le Mar 8 Juin - 15:36

Ajouter 1 aux deux membres des 3 équations, puis factoriser ...
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Re: Arithmétique : Déterminer quatre entiers dont le produit est `8!`

Message  carole le Mar 29 Juin - 20:31

`ab+a+b+1=a(b+1)+b+1=(a+1)(b+1)`
De même:
`bc+b+c+1=(b+1)(c+1)` et `dc+d+c+1=(d+1)(c+1)`
D' où on reçoit le système suivant:
`{((a+1)(b+1)=525),((b+1)(c+1)=147),((d+1)(c+1)=105):}`
Or,
`525=3*5^2*7`
`147=3*7^2`
`105=3*5*7`
et `8! =2^7*32*5*7`
`a*b*c*d=2^7*32*5*7
`iff (525/(b+1)-1)*b*c*(105/(c+1)-1)= 2^7*3^2*5*7
considérons le nouveau système formé:
`{((525/(b+1)-1)*b*c*(105/(c+1)-1)= 2^7*3^2*5*7),((b+1)(c+1)=147):}`
en résolvant ce système on obtient b=20 et c= 6
remplaçons dans le système initial:
on trouve a=24 et d= 14
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Ven 2 Juil - 9:30

20 points pour toi.
Voici comment je raisonne moi-même : on peut directement tirer a,b,c et d de ton système, sans utiliser `a*b*c*d=8!`

Je pose : `u=a+1`, `v=b+1`, `w=c+1`, `t=d+1`.
Ton système devient alors :
`{(uv=3*5^2*7quad quad (1)),(vw=3*7^2quad quad(2)),(wt=3*5*7quad quad(3)):}`
On peut ajouter l'équation : `ut=3*5^3` qu'on obtient en multipliant (1) par (3) et en divisant par (2).
En utilisant la règle :
a divise b et a divise c `=>` a divise pgcd(b,c)
on trouve que :
w divise 7 donc `w=7` car `w!=1`
t divise 15 donc d'après (3) : `t=15`
u divise 75 donc comme `ut=3*5^3`, on a : `u=25`
v divise 21 donc d'après (1) : `v=21`

Ainsi : `a=24`, `b=20`, `c=6` et `d=14`.

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