Trigonométrie : Produit de sinus

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Trigonométrie : Produit de sinus

Message  G. Lorang le Mer 26 Mai - 16:22

Montrer que :
`64*sin10°*sin20°*sin30°*sin40°*sin50°*sin60°*sin70°*sin80°*sin90°=3/4`
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Re: Trigonométrie : Produit de sinus

Message  kyu~ le Jeu 27 Mai - 16:18

On peut déjà laisser de côté `sin 90°`, car `sin 90°=1`, ce qui ne changera rien à l'équation
Puis on utilise la formule `sin x * sin y = 1/2(cos(x-y)-cos(x+y))`
`64* (sin10°*sin80°) * (sin20°*sin70°) * (sin30°*sin60)° * (sin40°*sin50°)=3/4`
`iff 64*[1/2*(cos(10°-80°)-cos(10°+80°))]*[1/2*(cos(20°-70°)-cos(20°+70°))`
`*[1/2*(cos(30°-60°)-cos(30°+60°))]*[1/2*(cos(40°-50°)-cos(40°+50°))]=3/4`
`iff 64*[1/2*(cos(-70°)-cos90°)]*[1/2*(cos(-50°)-cos90°)]*[1/2*(cos(-30°)-cos90°)]*[1/2*(cos(-10°)-cos90°)]=3/4`
Comme `cos90°=0` on a:
`4*cos70°*cos50°*cos30°*cos10°=3/4`
(Il s'agit de cosinus, donc `cos(-70°)=cos70°, cos(-50°)=cos50°`,...)
Cette fois-ci, on utilise la formule `cos x * cos y = 1/2(cos(x+y)+cos(x-y))`:
`4*[1/2*(cos(70°+50°)+cos(70°-50°))]*[1/2*(cos(30°+10°)+cos(30°-10°))]=3/4`
`iff 4*[1/2*(cos120°+cos20°)]*[1/2*(cos40°+cos20°)]=3/4`
On a :`cos120°=-cos60°=-1/2`, donc il faut prouver que :
`-1/2*cos40°-1/2*cos20°+cos20°*cos40°+cos²20°=3/4`
Or `cos40°=cos(2*20°)`, on utilise donc la formule `2cos²(x)=1+cos(2x) iff cos(2x) = 2cos²x-1`
`-cos²20`+1/2-1/2*cos20°+2cos³20°-cos20°`+cos²20°`=3/4`
On multiplie le tout par 2:
`4cos³20°-3cos20°=2*1/4`
`iff cos60°=1/2` car `cos(3x)=4cos³(x)-3cos(x)`
`cos60°=1/2` vrai!
q.e.d
Yannick


Dernière édition par kyu~ le Sam 29 Mai - 20:16, édité 3 fois
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du hues dej vertippt

Message  cApTaIn_CopyRight le Ven 28 Mai - 15:52

normalerweis misst et richteg sin mee du hues dech vertippt
du hues geschriwwen dat cos 90°=1, wolls verscheinlesch schreiwen dat et 0 ass :p
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Re: Trigonométrie : Produit de sinus

Message  kyu~ le Ven 28 Mai - 21:58

>_< *fixed*
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Sam 29 Mai - 19:15

20 points pour toi Yannick !

Mais : ne pourrais tu pas encore améliorer un peu la rédaction s.t.p. ?
Par exemple, si tu cites une formule, cite-la complètement :
Par exemple : `sinx*siny=1/2*(cos(x-y)-cos(x+y))`

Et il faudrait montrer quels facteurs tu groupes.
Les gens sont paresseux en lisant les maths.
Ils veulent qu'on leur explique tout ! Smile bounce

De plus tu devrais écrire toutes les formules entre \`...\`.

Sinon, c'est très bien !
Amicalement, G. Lorang
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BRAVO ENCORE !

Message  G. Lorang le Dim 30 Mai - 19:17

Tu as bien rédigé maintenant !
J'ai corrigé une minuscule erreur et un peu la mise en page.
Note que : iff donne si et seulement si (if and only if)
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