Trigonométrie : Fonction constante

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Trigonométrie : Fonction constante

Message  G. Lorang le Dim 23 Mai - 6:47

Soit `alpha` un réel donné tel que `sin(alpha)!=0`. Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur les réels A, B et C pour que la fonction :

$f(x)=A\sin ^ 2 x+B\sin ^ 2 (x+\alpha)+C\sin x \sin (x +\alpha)$

soit constante.

Idea Pensez au formulaire de trigonométrie ...
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Re: Trigonométrie : Fonction constante

Message  carole le Mer 30 Mar - 17:49

f est une fonction continue sur `RR`.

Donc f est constante sur `RR` `iff f'(x)=0`

`f'(x)=A*2*sin(x)*cos(x)+B*2*sin(x+alpha)*cos(x+alpha)+C*(cos(x)*sin(x+alpha)+sin(x)*cos(x+alpha))

`f'(x)=0
`iff A*2*sin(x)*cos(x)+B*2*sin(x+alpha)*cos(x+alpha)+C*(cos(x)*sin(x+alpha)+sin(x)*cos(x+alpha))=0
`iff A*sin(2x)+B*sin(2x+2alpha)+C*sin(2x+alpha)=0

Donc ceci est la condition nécessaire et suffisante pour que f soit constante.
Je n' ai pas encore trouvé d' autres expressions pour exprimer les conditions pour A,B et C.
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Aide

Message  G. Lorang le Jeu 7 Avr - 10:47

Chère Carole,
Tu es sur la bonne piste !
Attention : la condition nécessaire et suffisante doit uniquement porter sur A, B et C.
Elle doit être indépendante de `x` (donc ne pas contenir `x`) !
Indication : pense à remplacer `x`par une valeur simple. Par exemple 0 ...
Tu obtiens alors d'autres conditions nécessaires simples ...
Bonnes Pâques ! sunny
Cordialement, G. Lorang
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Re: Trigonométrie : Fonction constante

Message  carole le Jeu 7 Avr - 13:37

Si `x=0`, alors
`B*sin(2alpha)=-C*sin(alpha)` (1)
Si `x=pi/2`, alors
`-B*sin(2alpha)=-(-C*sin(alpha))
Si `x=pi/6`, alors
`A*sin(pi/3)+B*sin(pi/3+2alpha)+C*sin(pi/3+alpha)=0
`iff A*sqrt(3)/2+B*sqrt(3)/2*cos(2alpha)+B*1/2*sin(2alpha)+C*sqrt(3)/2*cos(alpha)+C*sin(alpha)*1/2=0
`iff A*sqrt(3)/2+B*sqrt(3)/2*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)+B*1/2*sin(2alpha)+C*sqrt(3)/2*cos(alpha)-B*sin(2alpha)*1/2=0` D' après (1)
`iff A*sqrt(3)/2+B*sqrt(3)/2*(2cos(alpha)^2-1)+C*sqrt(3)/2*cos(alpha)=0
`iff A-B+cos(alpha)*(B*2cos(alpha)+C)=0` (2)

Or si `cos(alpha)=0`, on a forcément `A=B`.
Dans (2) (pour `cos(alpha)!=0`):
`B*2cos(alpha)+C=0
`iff C=-B*2cos(alpha)
Dans (1) (pour contrôler):
`B*sin(2alpha)=B*2cos(alpha)*sin(alpha)

Donc `A=B= -C/(2cos(alpha))

Voilà la condition nécessaire et suffisante pour que `f` soit constante!
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Très bien !

Message  G. Lorang le Dim 15 Mai - 10:54

Tes conditions sont correctes !
Je les aurais écrites sous la forme : `C=-2Acos(alpha)` et `A=B` afin d'éviter la division par `cos(alpha)` qui peut être 0.
Remplacer x par `pi/6` n'était pas nécessaire !

Dans l'équation :
`f'(x)=0 iff A*sin(2x)+B*sin(2x+2alpha)+C*sin(2x+alpha)=0`,
1) je remplace x par 0 : `B*sin(2alpha)+Csin(alpha)=0 iff 2Bsin(alpha)cos(alpha)+Csin(alpha)=0 iff 2Bcos(alpha)+C=0` car par hypothèse : `sin(alpha)!=0`
(Tu dois connaître les formules de duplication par coeur !!! Cool )

2) je remplace x par `-alpha/2` : `-Asin(alpha)+Bsin(alpha)=0 iff A=B`

Ensuite tu négliges quelque chose de TRES IMPORTANT : lorsque tu as déterminé tes conditions (qui sont NECESSAIRES), il faut vérifier que les conditions sont aussi SUFFISANTES !!! En d'autres termes : tu dois encore vérifier que la fonction définie par :
$f(x)=A\sin ^ 2 x+A\sin ^ 2 (x+\alpha)-2A\cos \alpha \sin x \sin (x +\alpha)$
est bien constante !!! Je te laisse le soin de le faire dans une nouvelle réponse.
Cordialement, G. Lorang
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Re: Trigonométrie : Fonction constante

Message  carole le Dim 15 Mai - 11:50

Vérifions que `f(x)` est bien constante si `C=-2Acos(alpha)` et `A=B`.
`f(x)=Asin^2(x)+Bsin^2(x+α)+Csin(x)sin(x+α)
`=Asin^2(x)+Asin^2(x+alpha)-2Acos(alpha)sin(x)sin(x+alpha)
`=A(sin^2(x)+sin^2(x+alpha)-2cos(alpha)sin(x)sin(x+alpha))
`=A[sin^2(x)+(sin(x)cos(alpha)+cos(x)sin(alpha))^2-2cos(alpha)sin(x)(sin(x)cos(alpha)+cos(x)sin(alpha))]
`=A[sin^2(x)+sin^2(x)cos^2(alpha)+2sin(x)cos(x)sin(alpha)cos(alpha)+cos^2(x)sin^2(alpha)-2cos^2(alpha)sin^2(x)-2cos(alpha)sin(x)sin(alpha)cos(x)]
`=A[sin^2(x)-sin^2(x)cos^2(alpha)+cos^2(x)sin^2(alpha)]
`=A[sin^2(x)(1-cos^2(alpha))+cos^2(x)sin^2(alpha)]
`=A[sin^2(x)sin^2(alpha)+cos^2(x)sin^2(alpha)]
`=A(sin^2(alpha)(cos^2(x)+sin^2(x)))
`=Asin^2(alpha)*1

Or `A` et `sin^2(alpha)` sont constants, donc on a bien montré que la fonction est constante pour ces conditions.
Donc les conditions `A=B` et `C=-2Acos(alpha)` sont suffisantes!

Voilà, j' espère qu' il n' y a plus de fautes et que je n' ai plus rien oublié.
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C'est parfait

Message  G. Lorang le Lun 16 Mai - 15:13

20 points cadeau pour toi ! Smile
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