Algèbre : Système de 3 équations à 2 inconnues (OMB Maxi)

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas

Algèbre : Système de 3 équations à 2 inconnues (OMB Maxi)

Message  G. Lorang le Mar 18 Mai - 22:45

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le système d'équations
`{(ax+by=c),(bx+cy=a),(cx+ay=b):}`
où `a,b,c in RR`, possède (au moins) une solution.


Dernière édition par Gérard Lorang le Dim 30 Mai - 12:03, édité 1 fois
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

solution: traduction en droites

Message  Tom2 le Mer 19 Mai - 18:50

on peut trtansformer tous ces équations en équations de droites. Puis la solution unique sera tel qu'on trouve X et y comem point d'intersection des trois droites, ayant comme paramètres a,b et c.
On trouve d'abord:
`{(y=-a/b*x+c/b),(y=-b/c*x+a/c),(y=-c/a*x+b/a):}

Afin de trouver une solution dans `RR`, il faut absolument que les trois droites soient confondues.
Il faut donc la condition nécessaire et suffisante : `a=b=c`

On trouve comme solution alors: `y=-x+1`
C'est la droite de pente -1 qui coupe l'axe des ordonnées au point `I(0,1)`



je ne me suis pas sur que c'est la solution demandée...
Mais ceci, c'est la première remarque que je ferais concernant ce sujet. monkey


Dernière édition par Tom le Mer 19 Mai - 19:14, édité 1 fois
avatar
Tom2
Midi
Midi

Messages : 15
Date d'inscription : 10/05/2010
Age : 25
Localisation : planet earth

Voir le profil de l'utilisateur http://www.tomsmith.pf-control.de

Revenir en haut Aller en bas

Re: Algèbre : Système de 3 équations à 2 inconnues (OMB Maxi)

Message  T.Schaack le Mer 19 Mai - 21:06

dans ta solution, il faut remarquer que a,b,c sont non-nuls Idea

T.Schaack
New
New

Messages : 1
Date d'inscription : 11/05/2010

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Algèbre : Système de 3 équations à 2 inconnues (OMB Maxi)

Message  Tom2 le Mer 19 Mai - 21:18

jo dat hun ech och gesin am geogebra ^^ Razz haat shciebertegler gemach fier a b an c.
avatar
Tom2
Midi
Midi

Messages : 15
Date d'inscription : 10/05/2010
Age : 25
Localisation : planet earth

Voir le profil de l'utilisateur http://www.tomsmith.pf-control.de

Revenir en haut Aller en bas

Ce n'est pas si facile que ça ...

Message  G. Lorang le Jeu 20 Mai - 17:32

Cher Tom,
Les droites ne sont pas nécessairement confondues ...
La condition `a=b=c` est suffisante mais pas nécessaire !
Cherche encore ...
Amicalement, G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

a-b+c=0 ou a=b=c

Message  carole le Sam 22 Mai - 9:11

Résolvons d' abord le système de droites
`{(ax+by=c),(bx+cy=a):}`
par la méthode de Cramer.
On trouve l' ensemble des solutions S={(`(a^2-bc)/(ac-b^2)`;`(c^2-ab)/(ac-b^2)`)}. (`ac-b^2`différent de 0)
Or le point d' intersection de ces deux premières droites appartient également à la troisième droite
`iff` `(a^2-bc)/(ac-b^2)`a + `(c^2-ab)/(ac-b^2)`b=c
`iff` `(a^2-bc)`a + `(c^2-ab)`b= `(ac-b^2)`c
`iff` a(`a^2-b^2) -a(c^2-bc)= -b(c^2-bc)`
`iff` a(a+b)(a-b)=c(a-b)(b+c)
`iff a^2-c^2+ab-bc=0`
`iff` a+c=b
`iff`a-b+c=0

Si ac-`b^2`=0, alors il faut que `a^2-bc=0` (1) et `c^2-ab=0` (2) pour que le système admette des solutions (les droites sont confondues).
(1) `iff c=(a^2)/b` (3)
(3) dans (2):
`((a^2)/b)^2` -ab=0
`iff a(a^3/b^2-b)=0`
`iff a^3= b^3`
`iff` a=b
(1): `a^2=bc iff`c=a (b `!=`0)
Donc: a=b=c
Si b=0, alors a=0 et la droite ax+by=c n' existe pas, car il faut que (a;b)`!=`(0;0)
Mee dat hat den Tom jo och schonn fonnt. Wink


Dernière édition par carole le Dim 23 Mai - 8:19, édité 1 fois
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Presque parfait ...

Message  G. Lorang le Dim 23 Mai - 6:08

Et as e Fehler am 1. Fall ... Norechnen ! Wink Da sin di 20 Punkten fir dech ... cheers
Am 2. Fall därf och a=b=c=0 ... (Et steet neirens dat et équatioune vun droites sin ...
G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

`a^3+b^3+c^3=3abc`

Message  carole le Mer 12 Jan - 19:10

carole a écrit:Résolvons d' abord le système de droites
`{(ax+by=c),(bx+cy=a):}`
par la méthode de Cramer.
On trouve l' ensemble des solutions S={(`(a^2-bc)/(ac-b^2)`;`(c^2-ab)/(ac-b^2)`)}. (`ac-b^2`différent de 0)
Or le point d' intersection de ces deux premières droites appartient également à la troisième droite
`iff` `(a^2-bc)/(ac-b^2)`a + `(c^2-ab)/(ac-b^2)`b=c


Ce devrait être S={(`(c^2-ab)/(ac-b^2)`;`(a^2-bc)/(ac-b^2)`)} (`ac-b^2`différent de 0).

Puis on remplace dans l' équation `cx+ay=b` et non dans `ax+by=c`:

`c*(c^2-ab)/(ac-b^2)+a*(a^2-bc)/(ac-b^2)=b
`iff c(c^2-ab)+a(a^2-bc)=b(ac-b^2)
`iff a^3+b^3+c^3=3abc

J' espère qu' il n' y a plus de fautes maintenant Wink
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Forrrrrrrrrrrmidable !

Message  G. Lorang le Ven 14 Jan - 9:44

Tu as bien trouvé la condition nécessaire et suffisante !! 30 points pour toi !

Dans ta condition, il y a bien la solution supplémentaire `a=b=c` !!


Dernière édition par G. Lorang le Lun 17 Jan - 21:31, édité 1 fois
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Autre réponse

Message  G. Lorang le Lun 17 Jan - 21:30

Un théorème important dit que :
Dans le plan les trois droites `d:ax+by=c`, `d':a'x+b'y=c'` et `d'':a''x+b''y=c''` sont concourantes ou parallèles ssi le déterminant d'ordre 3 formé par les coefficients, c'est-à-dire :`|(a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c'')|=0`.
Tu peux trouver une démonstration (que je te recommande de lire) ici :

http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_22.pdf

1er cas : l'un au plus des 3 coefficients a,b et c est 0:
Donc les 3 droites données (ce sont des droites à condition que l'un au plus des 3 coefficients a,b et c est nul) sont concourantes ou parallèles
`iff |(a,quad b,quad c),(b,quad c,quad a),(c,quad a,quad b)|=0`
`iff 3abc-a^3-b^3-c^3=0`
`iff (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0` (La factorisation est difficile à obtenir ... )
`iff a+b+c=0` ou `a=b=c`.

(Le fait que 2e facteur s'annule ssi `a=b=c` est un peu difficile à démontrer ... : je l'obtiens en utilisant la fameuse inégalité de Cauchy-Schwarz.)

Réciproquement, supposons que la condition `3abc-a^3-b^3-c^3=0` est réalisée. Donc, soit `a=b=c` soit `a+b+c=0`.
Si `a=b=c!=0` alors les trois droites sont confondues avec la droite : `x+y=1` et le système proposé admet donc une infinité de solutions.
(Si `a=b=c=0` alors on n'est plus dans l'hypothèse du premier cas.)
Si `a+b+c=0`, alors les trois droites passent par le point (-1,-1), donc le système admet bien au moins une solution.
Donc : le système a au moins une solution ssi `a=b=c` ou `a+b+c=0` lorsque l'un au plus parmi a,b et c est 0.

2e cas : au moins 2 des 3 coefficients a,b et c sont 0:
Dans ce cas il est facile de voir que le système admet des solutions ssi `a=b=c=0`
Cette condition est aussi impliquée par la condition `3abc-a^3-b^3-c^3=0`

On peut donc résumer les 2 cas en disant que :
Le système a au moins une solution ssi `3abc-a^3-b^3-c^3=0 iff a=b=c` ou `a+b+c=0`.

Cordialement, G. Lorang


avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Algèbre : Système de 3 équations à 2 inconnues (OMB Maxi)

Message  Contenu sponsorisé


Contenu sponsorisé


Revenir en haut Aller en bas

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut

- Sujets similaires

 
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum