Algèbre : Recherche d'un polynôme (OMB Maxi Finale 1978)

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Algèbre : Recherche d'un polynôme (OMB Maxi Finale 1978)

Message  G. Lorang le Sam 15 Mai - 23:04

Trouver un polynôme à coefficients dans `ZZ` admettant `sqrt(2)+root3(3)` comme racine.


Dernière édition par Gérard Lorang le Mar 18 Mai - 22:47, édité 1 fois
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une driote serair la solution la plus simple.

Message  Tom2 le Lun 17 Mai - 17:56

le cas le plus simple pour moi semble se présenter comme suit:

On doit trouver une foction de la forme `f(x)=a*x+b` avec comme inconnues `a` et `b`.(`AA a text( et ) b in ZZ`)
comme la pente d'une droite est décrite par `(Delta_z)/(Delta_x)`, on a intéret à trouver une valeur pente de la forme `(Delta_z)/(sqrt(2)+root3(3))` où en plus `Delta_z = b` , afin de nous simplifier la tâche Wink

maintenant il faut encore multiplier par la valeur de b afin d'éliminer les racines carrées et cubiques de (`Delta_x`).

Mais à ce point, je suis à bout avec mon latin xD.
Je ne sais pas encore avec sureté s'il exsiste une solution dans `ZZ` afin de complèter mon raisonnement.
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Ce n'est pas si facile que ça ...

Message  G. Lorang le Lun 17 Mai - 19:35

Salut Tom,
Le polynôme cherche ne peut pas être du 1er degré, puisque le nombre `sqrt(2)+root3(3)` n'est pas rationnel !
Indice : cherche d'abord un polynôme de degré minimal à coefficients dans `ZZ` qui admet `sqrt(2)` comme racine.
C'est plus simple et cela te donne peut-être des idées pour le problème posé.
Amicalement, G. Lorang
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début du problème

Message  Paul le Mer 26 Jan - 12:45

Le polynôme à coefficients dans `ZZ` qui admet `sqrt(2) ` pour racine est:
`x^2-2`

Le polynôme à coefficients dans `ZZ` qui admet `root3(3) ` pour racine est:
`x^3-3`

Maintenant j'ai aucune idée pour continuer! Moi, je veux chercher un polynôme de degré 6 car le ppcm(2,3)=6.

Paul
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Tu as parfaitement raison !

Message  G. Lorang le Mer 26 Jan - 17:25

Voici le début :
Tu écris par exemple :
`x=sqrt(2)+root3(3)
`iff x-sqrt(2)=root3(3)` (au cube)
`iff (x-sqrt(2))^3=3`

Ensuite tu développes le produit à gauche et tu vois que le seul nombre irrationnel qui reste dans l'équation est `sqrt(2)`
Tu mets les termes avec `sqrt(2)` à droite et les autres termes à gauche ... et puis évidemment ... Smile psst, je ne dis plus rien ...
Je te laisse le plaisir de continuer.

Cordialement, G. Lorang
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Réponse

Message  Paul le Mer 26 Jan - 19:27

Notons x la racine du polynôme cherché , on a:
` x=sqrt(2)+root3(3)`
`iff x-sqrt(2)=root3(3)
`
en prenant le cube

`iff (x-sqrt(2))^3 = 3
`
en utilisant `(a-b)^3 = a^3-3a^2b +3ab^2-b^3 `

`iff x^3 - 3sqrt(2)x^2 + 6x -2sqrt(2) = 3 `
`iff x^3 + 6x -3 = sqrt(2)(3x^2+2)
`
en prenant le carré

`iff (x^3+6x-3)^2 = 2(3x^2+2)^2`
`iff x^6 + 12x^4 -6x^3 + 36x^2-36x + 9 = 18x^4 +24x^2 +8 `
`iff x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0`

Donc le polynôme cherché est le suivant :
`p(x)=x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1`

Paul
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BRAVO !

Message  G. Lorang le Mer 26 Jan - 19:39

Tu avais bien compris mon aide ! J'ai corrigé la dernière ligne Smile (Un polynôme n'est pas une équation !)
20 points cadeau pour toi !
Cordialement, G. Lorang
P.S: Peux-tu éventuellement me révéler ton identité (nom,classe, école) par mail ?

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