OMB Finales 2013

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OMB Finales 2013

Message  carole le Dim 28 Avr - 12:26

Problème 1:
Soit `a,b in RR`.
a) Si `a!=b` et si les nombres `a-b`et `a^2-b^2` sont rationnels, en est-t-il de même de `a+b`?
b) Si les nombres `a+b`et `a^2+b^2` sont rationnels, en est-t-il de même de `a^3+b^3`, et de `a^4+b^4`?
c) Si les nombres `a^2+b^2`, `a^3+b^3`et `a^4+b^4` sont rationnels, en est-t-il de même de `a+b`?


Problème 2:
Une urne contient `m` boules mauves et `n` boules noires. Le couple d'entiers naturels `(m,n)` est adéquat lorsque le nombre de couples de boules de couleurs différentes présents dans cette urne est égal au nombre de couples de boules distinctes mais de même couleur.

(a) Montrez que le couple `(10,15)` est adéquat.

(b) Si `m=6`, quels sont tous les couples `(6,n)` adéquats ?

(c) Combien existe-t-il de couples `(m,n)` adéquats ? Décrire leur ensemble.


Problème 3:


Problème 4:
a) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 6?
b) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 11?
c) Existe-t-il un multiple de 11 dont la somme des chiffres vaut 3?
d) Trouver tous les entiers naturels `n` pour lesquels il existe un multiple de 11 dont la somme vaut `n`


On peut regarder les problèmes des années passées ici:
http://omb.sbpm.be/modules/finale/
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carole
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