variations d'une fonction
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variations d'une fonction
Pouvez vous m’aider s’il vous plaît avec explications, merci
Voici l’énoncé :
Étudier les variations de la fonction f définie par :
f : x² + 2x + 3 / 2x² - 3x – 2
On cherche les racines du polynôme : 2x²-3x-2
2 est une racine évidente car 2(2²)-6-2 = 0
On peut alors factoriser par x-2.
Et 2x²-3x-2 = (x-2)(2x+1)
Qui s'annule pour x = 2 et x = -1/2.
Soit x dans R\{-1/2 ; 2}
f est dérivable sur cet ensemble et on a :
f'(x) = ((2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3)) / ( 2x²-3x-2)² ( formule de la dérivée d'un quotient )
f'(x) est du signe du numérateur puisque le dénominateur est toujours positif.
Au final, f sera croissante si (2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3) est positif et décroissante sinon.
Il suffit à présent de déterminer le signe de ce numérateur sur R\{-1/2 ; 2}.
Mais je n’y arrive pas
Voici l’énoncé :
Étudier les variations de la fonction f définie par :
f : x² + 2x + 3 / 2x² - 3x – 2
On cherche les racines du polynôme : 2x²-3x-2
2 est une racine évidente car 2(2²)-6-2 = 0
On peut alors factoriser par x-2.
Et 2x²-3x-2 = (x-2)(2x+1)
Qui s'annule pour x = 2 et x = -1/2.
Soit x dans R\{-1/2 ; 2}
f est dérivable sur cet ensemble et on a :
f'(x) = ((2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3)) / ( 2x²-3x-2)² ( formule de la dérivée d'un quotient )
f'(x) est du signe du numérateur puisque le dénominateur est toujours positif.
Au final, f sera croissante si (2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3) est positif et décroissante sinon.
Il suffit à présent de déterminer le signe de ce numérateur sur R\{-1/2 ; 2}.
Mais je n’y arrive pas
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
Re: variations d'une fonction
Bonjour est-ce que tu as déjà développé le numérateur de ta dérivée?
Je le fais pour toi:
`(2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3)
`=4x^3-6x^2-4x+4x^2-6x-4-4x^3+3x^2-8x^2+6x-12x+9
`=-7x^2-16x+5
Il faut maintenant résoudre l' équation `-7x^2-16x+5=0` pour déterminer les racines `x_1` et `x_2`. Le signe de la dérivée est celui de `-7` sauf entre ses racines.
Je suppose que tu sais résoudre une telle équation avec `Delta`...
`-7x^2-16x+5=0`
`iff 7x^2+16x-5=0
`Delta=16^2-4*7*(-5)=256+140=396=6^2*11
`x_1=(-16-6sqrt(11))/14=(-8-3sqrt(11))/7
`x_2=(-16+6sqrt(11))/14=(-8+3sqrt(11))/7
Donc f sera décroissante sur `]-oo;(-8-3sqrt(11))/7]`, puis croissante sur `[(-8-3sqrt(11))/7;-1/2[U]-1/2;(-8+3sqrt(11))/7]` et de nouveau décroissante sur `[(-8+3sqrt(11))/7;2[U]2;+oo[
J' ai attaché une figure de f (en bleu).
Je le fais pour toi:
`(2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3)
`=4x^3-6x^2-4x+4x^2-6x-4-4x^3+3x^2-8x^2+6x-12x+9
`=-7x^2-16x+5
Il faut maintenant résoudre l' équation `-7x^2-16x+5=0` pour déterminer les racines `x_1` et `x_2`. Le signe de la dérivée est celui de `-7` sauf entre ses racines.
Je suppose que tu sais résoudre une telle équation avec `Delta`...
`-7x^2-16x+5=0`
`iff 7x^2+16x-5=0
`Delta=16^2-4*7*(-5)=256+140=396=6^2*11
`x_1=(-16-6sqrt(11))/14=(-8-3sqrt(11))/7
`x_2=(-16+6sqrt(11))/14=(-8+3sqrt(11))/7
Donc f sera décroissante sur `]-oo;(-8-3sqrt(11))/7]`, puis croissante sur `[(-8-3sqrt(11))/7;-1/2[U]-1/2;(-8+3sqrt(11))/7]` et de nouveau décroissante sur `[(-8+3sqrt(11))/7;2[U]2;+oo[
J' ai attaché une figure de f (en bleu).
carole- Expert
- Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 31
variations d'une fonction
je te remercie de m'aider tu as été super sympa
si j'ai pas compris a un endroit pourra tu m'expliquer
si j'ai pas compris a un endroit pourra tu m'expliquer
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
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