DL (développements limités majorations tayloriennes)
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DL (développements limités majorations tayloriennes)
Une personne s’y connaît-elle dans ces exercices, merci
car je suis nulle de chez nulle dans ces exos
voici l'énoncé :
Soit la fonction `f` définie sur l’intervalle [0 , 1] par `f(t)=e^t`
1° Montrer que pour tout réel t de `[0,1]` on a : `1≤ e^t ≤ e` (1)
Soit x un réel de `[0,1]` ; en intégrant de 0 a x les inégalités précédentes,
démontrer que l’on a :
`1 + x ≤ e^x ≤ 1 + e*x` (2)
2° En intégrant les inégalités (2) de 0 à x, pour tout x de `[0,1]`,
Montrer qu’on a :
`1+ x + (x^2 / 2) ≤ e^x ≤ 1 + x+e*(x^2 / 2)`
3° Interpréter graphiquement ce résultat dans un repère orthonormal en considérant, pour x dans [0 , 1], les arcs de courbe d’équations respectives :
`y = 1 + x + (x^2 / 2)` , `y = e^x` , `y = 1 + x + e*(x^2 / 2)`
4° Sachant que sur [0 , 1] on a `│f''(t)│≤ e`, écrire l’inégalité de Taylor correspondante ; donne-t-elle un meilleur encadrement de `e^x` que le résultat précédent ?
car je suis nulle de chez nulle dans ces exos
voici l'énoncé :
Soit la fonction `f` définie sur l’intervalle [0 , 1] par `f(t)=e^t`
1° Montrer que pour tout réel t de `[0,1]` on a : `1≤ e^t ≤ e` (1)
Soit x un réel de `[0,1]` ; en intégrant de 0 a x les inégalités précédentes,
démontrer que l’on a :
`1 + x ≤ e^x ≤ 1 + e*x` (2)
2° En intégrant les inégalités (2) de 0 à x, pour tout x de `[0,1]`,
Montrer qu’on a :
`1+ x + (x^2 / 2) ≤ e^x ≤ 1 + x+e*(x^2 / 2)`
3° Interpréter graphiquement ce résultat dans un repère orthonormal en considérant, pour x dans [0 , 1], les arcs de courbe d’équations respectives :
`y = 1 + x + (x^2 / 2)` , `y = e^x` , `y = 1 + x + e*(x^2 / 2)`
4° Sachant que sur [0 , 1] on a `│f''(t)│≤ e`, écrire l’inégalité de Taylor correspondante ; donne-t-elle un meilleur encadrement de `e^x` que le résultat précédent ?
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
Bienvenue !
Cher canta, on veut bien t'aider sur ce forum, mais d'abord tu dois apprendre à taper correctement tes formules. J'espère que tu utilises Firefox ?
Tu dois impérativement lire le mode d'emploi du forum, puis vérifier si j'ai bien corrigé l'énoncé de ton exercice.
Si tu confirmes, je vais poster la réponse.
Indication pour régler les points (1) et (2) : si `f(t)<=g(t)` sur `[0,1]`, alors `int_0^xf(t)dt <= int_0^xg(t)dt` , pour tout x dans [0,1]
Tu dois impérativement lire le mode d'emploi du forum, puis vérifier si j'ai bien corrigé l'énoncé de ton exercice.
Si tu confirmes, je vais poster la réponse.
Indication pour régler les points (1) et (2) : si `f(t)<=g(t)` sur `[0,1]`, alors `int_0^xf(t)dt <= int_0^xg(t)dt` , pour tout x dans [0,1]
Dernière édition par G. Lorang le Lun 14 Mai - 13:17, édité 1 fois
pour G. Lorang
je n'arrive pas a voir si la correction est bonne car je ne vois que les questions, le reste n'apparaît plus.
je te remercie de me venir en aide pour que je puisses bien utiliser le forum. Excuse moi si je fais des erreurs
je te remercie de me venir en aide pour que je puisses bien utiliser le forum. Excuse moi si je fais des erreurs
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
Réponse 1°
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur [0,1], on a :
`e^0<=e^t<=e^1` pour tout réel t dans [0,1]
Donc : `1<=e^t<=e` pour tout réel t dans [0,1].
Essaie maintenant de faire la suite : il suffit d'utiliser l'indice que je t'ai donné dans le post précédent.
Cordialement G. Lorang
`e^0<=e^t<=e^1` pour tout réel t dans [0,1]
Donc : `1<=e^t<=e` pour tout réel t dans [0,1].
Essaie maintenant de faire la suite : il suffit d'utiliser l'indice que je t'ai donné dans le post précédent.
Cordialement G. Lorang
pour G. Lorang
merci beaucoup de m'aider votre forum est vraiment sympa, il faudra que je prenne l'habitude de bien m'en servir sans trop faire d'erreur. encore merci, maintenant je vais me mettre au boulot et c'est pas gagné
je compte sur toi pour me dire quand je fais une erreur sur le forum, merci
je compte sur toi pour me dire quand je fais une erreur sur le forum, merci
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
Encore un coup de pouce
Comme `1<=e^t<=e` sur [0,1]
on a : `int_0^x(1)dt <= int_0^x(e^t)dt<= int_0^x(e)dt` , pour tout x dans [0,1]
`iff (x-0)<=(e^x-e^0)<=(e*x-e*0)`, pour x dans [0,1]
`iff x<=e^x-1<=e*x`
`iff 1+x<=e^x<=1+e*x`
Ceci termine le point 1°
A toi d'essayer le point 2° qui est très semblable...
Cordialement G. Lorang
on a : `int_0^x(1)dt <= int_0^x(e^t)dt<= int_0^x(e)dt` , pour tout x dans [0,1]
`iff (x-0)<=(e^x-e^0)<=(e*x-e*0)`, pour x dans [0,1]
`iff x<=e^x-1<=e*x`
`iff 1+x<=e^x<=1+e*x`
Ceci termine le point 1°
A toi d'essayer le point 2° qui est très semblable...
Cordialement G. Lorang
Re: DL (développements limités majorations tayloriennes)
merci a toi de m'aider si bien, j'ai du mal a comprendre mais vu que tu m'as bien aider pour le 1°, je vais me mettre a fond dans 2° avec ton exemple du 1°.
encore merci
a bientôt
encore merci
a bientôt
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
pour G. Lorang
Veuillez m'excuser Monsieur, de vous avoir tutoyé, je ne savais pas que vous étiez un professeur.
A partir de ce jour je dirais "vous".
A partir de ce jour je dirais "vous".
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
pour G. Lorang
pourriez vous s'il vous plaît me donner un lien vers ce cours ou je pourrais étudier et comprendre car pour l'instant je n'y arrive
pas et je ne suis pas sur le forum pour que l'on me donne toutes les réponses, je suis ici pour essayer de comprendre.
merci
pas et je ne suis pas sur le forum pour que l'on me donne toutes les réponses, je suis ici pour essayer de comprendre.
merci
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
Cours
Cher canta,
Quelles sont tes bases en mathématiques ?
De quel cours as-tu besoin exactement ?
En cherchant un peu sur internet, tu devrais facilement trouver des cours sur n'importe quel sujet : intégration, calcul différentiel ...
Il me semblerait naturel que ton prof a également fait un cours ?
Comme je l'ai déjà dit, le point 2° de l'exercice est analogue au point 1°.
Si tu n'y arrives toujours pas, je vais poster la réponse.
Cordialement G. Lorang
Quelles sont tes bases en mathématiques ?
De quel cours as-tu besoin exactement ?
En cherchant un peu sur internet, tu devrais facilement trouver des cours sur n'importe quel sujet : intégration, calcul différentiel ...
Il me semblerait naturel que ton prof a également fait un cours ?
Comme je l'ai déjà dit, le point 2° de l'exercice est analogue au point 1°.
Si tu n'y arrives toujours pas, je vais poster la réponse.
Cordialement G. Lorang
pour M. G. Lorang
Monsieur, en mathématiques je ne suis pas trop à l'aise et je n'ai pas de prof car c'est des cours par correspondance.
si cela vous ennuis pas veuillez me laisser encore jusqu'à la fin de la semaine pour réfléchir avant de poster la réponse.
je vous en remercie
si cela vous ennuis pas veuillez me laisser encore jusqu'à la fin de la semaine pour réfléchir avant de poster la réponse.
je vous en remercie
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
pour M. G. Lorang
je suis désolée mais je n'y arrive pas
je n'y comprend absolument rien
je n'y comprend absolument rien
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
Point 2°
D'après le point 1, comme `1+t<=e^t<=1+e*t` sur [0,1]
on a : `int_0^x(1+t)dt <= int_0^x(e^t)dt<= int_0^x(1+e*t)dt` , pour tout x dans [0,1]
`iff (x+x^2/2-0)<=(e^x-e^0)<=(x+e*x^2/2-0)`, pour x dans [0,1]
`iff x+x^2/2<=e^x-1<=x+e*x^2/2`
`iff 1+x+x^2/2<=e^x<=1+x+e*x^2/2`
Ceci termine le point 2°
Ton problème c'est que tu n'as pas les bases théoriques.
Il faut commencer par apprendre ton cours.
Cordialement G. Lorang
on a : `int_0^x(1+t)dt <= int_0^x(e^t)dt<= int_0^x(1+e*t)dt` , pour tout x dans [0,1]
`iff (x+x^2/2-0)<=(e^x-e^0)<=(x+e*x^2/2-0)`, pour x dans [0,1]
`iff x+x^2/2<=e^x-1<=x+e*x^2/2`
`iff 1+x+x^2/2<=e^x<=1+x+e*x^2/2`
Ceci termine le point 2°
Ton problème c'est que tu n'as pas les bases théoriques.
Il faut commencer par apprendre ton cours.
Cordialement G. Lorang
pour M. G. Lorang
Bonsoir M.G. Lorang
Vous avez raison, je ne connais pas bien les bases et sur mon livre, j'ai du mal a comprendre car il n'y a qu'un exemple et étant donner que je ne suis pas trop bonne en maths cela n'arrange rien.
j'ai essayer de faire la 3ème question pouvez vous s'il vous plaît me dire si c'est juste, merci
comme la fonction exponentielle est encadrée par les fonctions
x --> 1+x+x²/2 et x --> 1+x+ex²/2 pour x dans [0.1]
Vous avez raison, je ne connais pas bien les bases et sur mon livre, j'ai du mal a comprendre car il n'y a qu'un exemple et étant donner que je ne suis pas trop bonne en maths cela n'arrange rien.
j'ai essayer de faire la 3ème question pouvez vous s'il vous plaît me dire si c'est juste, merci
comme la fonction exponentielle est encadrée par les fonctions
x --> 1+x+x²/2 et x --> 1+x+ex²/2 pour x dans [0.1]
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
Ok
Pour le point 3° tu dois ajouter que les graphes des trois fonctions sont situés l'un en-dessous de l'autre sur [0,1].
Il reste à faire le 4°, c'est le plus dur. Commence par chercher ce que c'est que l'inégalité de Taylor ...
Cordialement G. Lorang
Il reste à faire le 4°, c'est le plus dur. Commence par chercher ce que c'est que l'inégalité de Taylor ...
Cordialement G. Lorang
pour M. G. Lorang
merci pour votre aide
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
pour M. G. Lorang
Bonsoir, M.G. Lorang
pour l'exercice 4:
J’ai utilisée / pour les traits des valeurs absolues.
Donc j’ai tapé sur 2 au lieu de /2.
/f(x)-f(0)-(x-0)f’(0)/ ≤e/x-0/²sur2
/e^x-1-x*1/ ≤ex²/2
/e^x-1-x/ ≤ex²/2
Si / w / ≤ A alors –A ≤ w ≤ A
veuillez s'il vous plaît, me dire si j'ai compris ce cours qui n'est pas très évident pour moi
merci
pour l'exercice 4:
J’ai utilisée / pour les traits des valeurs absolues.
Donc j’ai tapé sur 2 au lieu de /2.
/f(x)-f(0)-(x-0)f’(0)/ ≤e/x-0/²sur2
/e^x-1-x*1/ ≤ex²/2
/e^x-1-x/ ≤ex²/2
Si / w / ≤ A alors –A ≤ w ≤ A
veuillez s'il vous plaît, me dire si j'ai compris ce cours qui n'est pas très évident pour moi
merci
canta- Midi
- Messages : 14
Date d'inscription : 13/05/2012
Localisation : France
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