variations d'une fonction

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variations d'une fonction

Message  canta le Dim 13 Mai - 15:08

Pouvez vous m’aider s’il vous plaît avec explications, merci

Voici l’énoncé :

Étudier les variations de la fonction f définie par :

f :  x² + 2x + 3 / 2x² - 3x – 2


On cherche les racines du polynôme : 2x²-3x-2
2 est une racine évidente car 2(2²)-6-2 = 0
On peut alors factoriser par x-2.
Et 2x²-3x-2 = (x-2)(2x+1)

Qui s'annule pour x = 2 et x = -1/2.

Soit x dans R\{-1/2 ; 2}
f est dérivable sur cet ensemble et on a :

f'(x) = ((2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3)) / ( 2x²-3x-2)² ( formule de la dérivée d'un quotient )

f'(x) est du signe du numérateur puisque le dénominateur est toujours positif.

Au final, f sera croissante si (2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3) est positif et décroissante sinon.
Il suffit à présent de déterminer le signe de ce numérateur sur R\{-1/2 ; 2}.

Mais je n’y arrive pas

canta
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Re: variations d'une fonction

Message  carole le Dim 13 Mai - 17:07

Bonjour est-ce que tu as déjà développé le numérateur de ta dérivée?

Je le fais pour toi:
`(2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3)
`=4x^3-6x^2-4x+4x^2-6x-4-4x^3+3x^2-8x^2+6x-12x+9
`=-7x^2-16x+5

Il faut maintenant résoudre l' équation `-7x^2-16x+5=0` pour déterminer les racines `x_1` et `x_2`. Le signe de la dérivée est celui de `-7` sauf entre ses racines.

Je suppose que tu sais résoudre une telle équation avec `Delta`...
`-7x^2-16x+5=0`
`iff 7x^2+16x-5=0
`Delta=16^2-4*7*(-5)=256+140=396=6^2*11
`x_1=(-16-6sqrt(11))/14=(-8-3sqrt(11))/7
`x_2=(-16+6sqrt(11))/14=(-8+3sqrt(11))/7

Donc f sera décroissante sur `]-oo;(-8-3sqrt(11))/7]`, puis croissante sur `[(-8-3sqrt(11))/7;-1/2[U]-1/2;(-8+3sqrt(11))/7]` et de nouveau décroissante sur `[(-8+3sqrt(11))/7;2[U]2;+oo[

J' ai attaché une figure de f (en bleu).
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Message  canta le Dim 13 Mai - 17:31

je te remercie de m'aider tu as été super sympa
si j'ai pas compris a un endroit pourra tu m'expliquer

canta
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