OMB Maxi Finale 2006

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OMB Maxi Finale 2006

Message  carole le Ven 30 Mar - 19:18

1.


(a) Ceci est possible, si on le fait comme ci-contre:


(b) Le pavé 3x3 est impossible. On a des formes d' aires 4, 3 et 4 respectivement et on veut recouvrir une aire de valeur 9. Or ceci est impossible à réaliser avec les "L" d' aire 3.
On commence par placer un dans un des coins (il y a 3 possibilités), puis on essaye de placer les autres. or il est toujours impossible de le réaliser:

(ce sont tous les cas de figure réalisable sans qu' on recouvre un petit carreau plusieurs fois)

(c) Tous les pavés `m`x`n` sont possibles si `m,n>2`, sauf le pavage 3x3 n' est pas faisable.

-pavage 2x3:


-Comme j' ai montré en haut le pavage 3x3 n' est pas réalisable.

-Pour la suite, il faudra distinguer plusieurs cas:
1er cas: `m-=0 (mod 2)`:
`m=2*k`
Le pavé sera donc de dimension `(2k)*n` et on pourra le subdiviser en k pavés de dimension 2xn.
Or, n peut s' écrire `n=x*2+y*3` (n>1).
Or, comme des pavages 2x2 et 2x3 sont réalisables, ceci marche toujours! Very Happy
(on a subdivisé le pavé `m`x`n` en k(x+y) pavages).

2e cas: `m-=1 (mod2)`:
Si `n-=0 (mod2)`, on peut raisonner de la même façon que pour le premier cas.
Occupons-nous donc du cas où `n-=1 (mod2)`:
On peut écrire m sous la forme `m=2*k+5*l` (n>3).
D' où:
`m`x`n=n`x`(2k+5l)=n`x`(2k)+m`x`(5l)
Les pavés `n`x`2k` sont réalisables (une longueur/largeur paire, cf cas 1).
Pour les pavés `n`x`5l`:
n peut s' écrire `n=x*2+y*3` (n>1).
Or, il existe des pavés 5x2 et 5x3 (cf question (a) ), donc les pavés de largeur 5 sont tous réalisables! Very Happy

J' ai donc bien montré que tous les pavages `m`x`n` sont possibles pour `m,n>2` et `m=n!=3`
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Question 2

Message  carole le Jeu 5 Avr - 21:16

2.

Il sera peut-être utile d' énoncer d' abord deux théorèmes avec lesquels on pourra résoudre ce problème:

Théorème de Céva:
Les droites `A A'`, `BB'` et `C C'` sont concourrantes
`iff (AB')/(B'C)*(CA')/(A'B)*(BC')/(C'A)=1


Théorème de Ménélaüs:
D,E et F sont alignés
`iff (AD)/(DB)*(BF)/(FC)*(CE)/(EA)=-1
Comme on ne considère que des distances non orientés pour la résolution, on peut négliger le moins...
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Re: OMB Maxi Finale 2006

Message  carole le Jeu 5 Avr - 21:53

2. D' aprés Céva: (voir figure)


AC, EH et FG sont alignés
`iff (HA')/(A'F)*(FE')/(E'C)*(CG')/(G'H)` (*)

Or, d' aprés Ménélaüs, C,I et A' sont alignés (triangle FHG')
`iff (G'I)/(IF)*(FA')/(A'H)*(HC)/(CG')=1
`iff (A'H)/(FA')=(HC)/(CG')(G'I)/(IF)

Or, d' aprés Thalès:

- ICE'/IAE et ICG'/IAG:
`(CE')/(AE)=(IC)/(AI)=(IG')/(IG)
`iff CE'=(IG'*AE)/(IG)

- E'EF/HEK
(K est le point d' intersection de GH et EF):
`(E'F)/(HK)=(EF)/(EK)
`iff E'F=(EF*HK)/(EK)=(AB*DE)/(AG)

-GG'H/GFK:
`(HG')/(FK)=(GH)/(GK)
`iff HG'=(AD*BG)/(AE)

Remplaçons ces expressions dans (*):
`(HA')/(A'F)*(FE')/(E'C)*(CG')/(G'H)=1

`iff (HC)/(CG')(G'I)/(IF)*(EF*HK)/(EK)/((IG'*AE)/(IG))*(CG')/((AD*BG)/(AE))=1
`iff (AB*DE*IG)/(AD*AG*IF)=1` (**)

Soit L le point d' intersection de EH et AB:
d' après Thalés:
`(IG)/(IF)=(GL)/(EF)
Or EF=AB
`(GL)/(AG)=(GH)/(DE)
`iff GL=(AD*AG)/(DE)

Remplaçons ceci dans (**):
`(AB*DE*IG)/(AD*AG*IF)=1
`iff (AB*DE*AD*AG)/(AD*AG*AB*DE)=1
c.q.f.d.

J' espère qu' il n' y a pas de fautes.
Il n' y a pas encore de solution de ces deux problèmes sur le site de l' OMB, ainsi c' est plus intéressant! Smile
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