OMB Demi-Finale 2012

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas

OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 18:43

Je poste de nouveau les questions suivies des réponses respectives.

1.
Si les rayons des deux cercles sont différents, alors les propositions 2,3 et 5 ne sont plus vérifiées. Comme M et P se trouvent sur le même cercle de centre `C`, on a `CM=CP=r`.

La bonne réponse est donc `4`.

2.
Faisons les calculs pour 100 voix dans le pays entier:
Nombre de voix pour le parti A dans la première région: `25/100*60=15`
Nombre de voix pour le parti A dans la deuxième région: `40/100*30=12`
Comme le parti A a obtenu 29 voix en tout, il y a 2 dans la troisième région, donc `2/10=0.2=20%` des voix dans cette région.
La bonne réponse est donc `20`.

3.
Comme l' octaèdre est régulier, les arêtes opposées sont deux à deux parallèles. Comme il a 12 arêtes, la bonne réponse vaut donc `6`!

4.
palindromes `in [17,100]`:
Les nombres palindromes sont: 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, donc 8 en tout.
palindromes `in [101;1000]`:
Il y a `9*10=90` palindromes, p.ex. 101,161,272,343 etc (9 possibilités pour le 1er/3er chiffre et chaque fois 10 possibillités pour le chiffre des dizaines)
La bonne réponse est donc `90+8=98`!

5.

Soit `r` le rayon, `a` la longueur du côté du grand triangle et `b` celle du petit triangle .
On trouve les relations suivantes:
`sqrt(3)/3*b=r
`sqrt(3)/6*a=r
`iff a/b=2
Comme une aire est de dimension 2, le rapport des aires vaut `2^2=4`.
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 19:01

6.

Calculons l' angle en A:
(théorème des cosinus)
(croquis)
`6^2=6^2+4^2-2*6*4*cos(alpha)
`iff cos(alpha)=1/3
La hauteur du tapèze vaut donc:
`h=sqrt(4^2-(4*1/3)^2)=sqrt(128/9)=8sqrt(2)/3
Aire du trapèze:
`(5+11)/2*8sqrt(2)/3=64sqrt(2)/3
La réponse C est donc correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 19:09

7.

Voici les translations: (1 est l' état initial, 2 après la 1e translation etc.)

La bonne réponse est donc E.
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 19:20

8.

La fonction f est périodique de période k
`iff f(x+k)=f(x)
`iff 2+f(x+k-4)=2+f(x-4)
`iff f(x+k-4)=f(x-4)
si `1=k`:
`f(x-3)=f(x-4)
si `2=k`:
`f(x-2)=f(x-4)
si `4=k`:
`f(x)=f(x-4)
Or ceci n'est possible que si f est constante, ce qui n' est pas le cas...
Je n' ai pas trouvé de belle démonstration, mais en tout cas `f` n' est pas périodique!
la réponse E est correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 19:26

9.
Voici un croquis:

Soit `alpha` l' angle BAD(BCA):
On sait que
`tan(alpha)=(AB)/(BC)=(BD)/(AB)`
Comme `BD=1/3*BC`, on a:
`AB^2=1/3*BC^2`
d' où:
`tan(alpha)=(AB)/(BC)=sqrt(3)/3
`=>alpha=30°
La valeur cherchée est 30.
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 19:35

10.
Deux droites suffisent, il faut deux diagonales non parallèles, mais gauches, sur deux plans parallèles (différents):

Les droites `AD'` et `B'C` sont telles quelles rencontrent toutes les arêtes.
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 19:42

11.
Le nombre total des cases étant de 5, la somme des valeurs des cases adjacentes à celle du milieu vaut 5, la réponse C est correcte!

12.
`x^4+y^4=4`
`iff x=-sqrt(2)` et `y=0` ou `x=sqrt(2)` et ` y=0` ou `x=0` et `y=-sqrt(2)` ou `x=0` et `y=sqrt(2)
Comme ces solutions vérifient également la première équation, on a 4 solutions.
La réponse D est correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 19:45

13.
La bonne réponse est A (7):
Elle peut inviter ces personnes (A,B,C,D,E,F,G):
ABC
ADE
AFG
BEF
BDG
CDF
CEG
Ainsi, en 7 fois chacun aura diné avec toutes les autres personnes.
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 20:05

14.
Soit A le centre de la Terre, `BD=1/2AC=1/2r`

d' où `cos(latitude)=(BD)/(AB)=(BD)/(AC)=1/2`
`iff latitude=60°

15.
Posons `DQ=DP=1`, `AD=AB=BC=CD=3`, `AP=QC=2`:
`QB=PB=sqrt(13)` (th. de Pythagore)
`PQ=sqrt(2)
Soit `alpha` l' angle dont le sinus est cherché:
`sin(alpha/2)=sqrt(2)/(2sqrt(13))
`cos(alpha/2)=(5sqrt(2))/(2sqrt(13))
`sin(2alpha/2)=2*sin(alpha/2)*cos(alpha/2)=2*sqrt(2)/(2sqrt(13))*(5sqrt(2))/(2sqrt(13))
`iff sin(alpha)=5/13
La réponse C est correcte!

16.
La bonne réponse est C, il existe deux réels k:0 et 2.
En effet:
`cos(x)^0+sin(x)^0=1+1=2
`cos(x)^2+sin(x)^2=1` (relation fondamentale)

17.
Comme 3 points se trouvent toujours sur un même plan, la distance minimale qui les sépare sera `996/3=332`km:
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 20:23

17. (Explications supplémentaires):
Dans le triangle équilatéral, les sommets sont distancés le plus les uns des autres pour un même périmètre, comme ce triangle est bien inscrit dans un cercle (intersection de la sphère et du plan comprenant les ennemis), la distance les séparants vaut `(2*pi*r)/3=996/3`

18.
Le résultat E est le plus probable, car c' est le seul où une certaine face ne doit pas apparaître plusieurs fois. Il y a dans ce cas `4*3*2*1` événements favorables pour `6^4` événements possibles (on peut distinguer les dés).

19.
`hat(A)=hat(EBD)=hat(DEF)=60°
Avec les cosinus et les sinus on touve:
`AC=10
`AD=5/2
`DC=15/2
`DE=15/4
`EF=15/8
(On dispose toujours d' une longueur et la valeur d' un angle du triangle rectangle respectif)
La bonne réponse est donc A.
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 20:34

20.

La bonne réponse est E, on dispose des 14 couples suivants:
(3;3;4)
(2;4;4)
(2;3;5)
(2;2;6)
(1;4;5)
(1;3;6)
(1;2;7)
(1;1;8)
(0;5;5)
(0;4;6)
(0;3;7)
(0;2;8)
(0;1;9)
(0;0;10)

21.

`cos(x)=0
`iff x=pi/2+k*pi
Or `-1<sin(x)<1` et `|pi/2+k*pi|>1
Donc il ne peut y avoir de solutions pour cette équation!
La réponse A est correcte!

22.

Soit `P` le polynôme:
`P(1)=0
`P(2)=0
`P(3)=0
`P(6)=0
Donc `P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)
`1^2+2^2+3^2+6^2=1+4+9+36=50
Donc la bonne réponse est 50!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Mer 29 Fév - 20:49

Les problèmes suivants, dont je ne rédige pas les réponses maintenant, je les ferai une autre fois, je pense que j' ai maintenant assez travaillé pour aujourd' hui Wink

23.


24.

Pour `n=7`, on a:
`7*6*5*4*3*2*1=2^4*3^2*5*7=12^2*5*7
Donc le plus grand carré vaut 12!

25.


26.


27.


28.


29.

En essayant un peu, on trouve la formule générale pour les `a_n` avec `n=0(mod 8 )`: `2^(n/2)`
Comme `1000/8=125`, on trouve comme résultat pour n=1000 `a_1000=2^500
La réponse B est correcte.
Je démontrerai la conjecture utilisée une autre fois...

30.


avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Question 23

Message  carole le Sam 3 Mar - 10:17

23. Voici un croquis de la situation:

Les distances sont:
`AB=CD=38
`AD=BC=46
`BH=DF=x
`BE=DG=y
`AE=CG=38-y
`AF=CH=46-x

On sait que (th. de Pythagore dans les triangles rectangles EBH et AEF):
`x^2+y^2=100 `(1)
`(46-x)^2+(38-y)^2=50^2 `(2)
On sait que `x<=10` sinon l' équation (1) n' a pas de solution, de plus on suppose x entier.
On devine que x=6 et y=8.
En effet : `6^2+8^2=100` et `40^2+30^2=1600+900=2500=50^2`
La plus petite distance doit donc être 6!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Sam 3 Mar - 10:36

25. Le volume du cube vaut `5*5*5=125`
Si on fixerait des plaques d' épaisseur 1 à chaque face (en rouge sur la figure), ces plaques auraient ensemble un volume de `6*5*5*1=150` `cm^3` .

Or on a négligé quelques points de trouvant à 1 cm des arêtes ne se trouvant pas sur les plaques.
Leur volume vaut:
`12*5*pi/4+4*pi/3=150+49/3*pi
Le volume total vaut donc `125+150+49/3*pi=275+49/3*pi
La réponse E est correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Question 28

Message  carole le Dim 4 Mar - 9:08

28. On cherche les triplets tels que `a^3+b^3=c^4`.
Voici quelques solutions évidentes: `(1,0,1),(0,1,1),(2,2,2)
Or, il existe une infinité de solutions possibles:
Soit p un nombre (pas nécessairement premier).
Posons `a=b=2*p^4`:
`a^3+b^3=8*p^12+8*p^12=16*p^12=(2*p^3)^4
Donc les triplets de la forme `(2*p^4,2*p^4,2*p^3)` sont également solution.
Je fais remarquer que ceci ne sont pas toutes les triplets qui sont solution, mais comme `p` est quelconque il existe une infinité de solutions!
La réponse E est donc correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  carole le Dim 4 Mar - 9:31

27. Une sphère et un cube ont même aire `A` .
Soit `r` le rayon de la sphère et `c` le côté du cube:
`A=6*c^2=4*pi*r^2
`iff r^2/c^2=3/(2pi)

Une translation qui amène la sphère dans le cube existe `iff 2r<=c`
`iff 4r^2/c^2<=1
`iff 6/pi<=1
Or `6/pi` vaut environ 1,9 d' où cette proposition (A) est fausse!

Une translation qui amène le cube dans la sphère existe `iff2r^2>=c^2` (th. de Pytagore, voir figure)

`2r^2/c^2>=1
`3/pi>=1
Or on a `3/pi<1`, donc la proposition B est également fausse.

Comme il n' existe pas de telle translations, la réponse C est correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Question 30

Message  carole le Dim 4 Mar - 10:03

30. Voici l' enoncé:



Calculons d' abord la distance EF:
Dans le repère de centre A:
`E(1-sqrt(3)/2,1/2)
`F(1/2,sqrt(3)/2)
`EF=sqrt((1-sqrt(3)/2-1/2)^2+(1/2-sqrt(3)/2)^2)
`EF=sqrt((2-sqrt(3)))
L' aire du carré défini par les 4 points d' intersection des arcs est donc `2-sqrt(3)`

Calculons l' angle `hat(EBF)`:
(th. des cosinus)
`EF^2=BE^2+BF^2-2*BE*BF*cos(alpha)
`iff 2-sqrt(3)=1+1-2*1*1*cos(alpha)
`iff cos(alpha)=sqrt(3)/2
`iff cos(alpha)=pi/6
L' aire définie par l' arc et le segment EF vaut donc
`pi/12-(1*1*1/2)/2=pi/12-1/4

L'aire de la zone ombrée vaut donc:
`2-sqrt(3)+4*(pi/12-1/4)=1-sqrt(3)-pi/3
La réponse B est correcte!
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Question 29- Suite

Message  carole le Dim 4 Mar - 13:28

29. J' ai supposé que si `n-=0(mod8) `, alors `a_n=2^(n/2)` et `b_n=0`

Démontrons `a_(8n)=2^(4n)`:
Cas de base `n=0`:
`a_0=2^0=1
`b_0=0
ok
Supposons `a_(8n)=2^(4n)` et démontrons `a_(8(n+1))=2^(4(n+1))`:
`a_(8n+1)=a_(8n)
`b_(8n+1)=a_(8n)
`a_(8n+2)=a_(8n)-a_(8n)=0
`b_(8n+2)=a_(8n)+a_(8n)=2*a_(8n)
`a_(8n+3)=-2*a_(8n)
`b_(8n+3)=2*a_(8n)
`a_(8n+4)=-4*a_(8n)
`b_(8n+4)=0
`a_(8n+5)=-4*a_(8n)
`a_(8n+5)=-4*a_(8n)
`a_(8n+6)=0
`a_(8n+6)=-8*a_(8n)
`a_(8n+7)=8*a_(8n)
`a_(8n+7)=-8*a_(8n)
`a_(8n+4)=16*a_(8n)
`a_(8n+4)=0

`a_(8n+4)=16*a_(8n)=16*2^(4n)=2^4*2^(4n)=2^(4(n+1))
q.e.d.

Voilà une démonstration...

On aurait pu le montrer à l' aide des matrices:

Définissons la matrice `((a_0 quad,b_0),(,))`:
`((a_0 quad,b_0),(,))*((1,1),(-1,1))=((a_0-b_0 quad,a_0+b_0),(,))=((a_1 quad, b_1),(,))
D' où les n-ièmes termes des deux suites peuvent être calculées par
`((1 quad,0),(,))*((1,1),(-1,1))^n

Calculons pour quelques valeurs de n `((1,1),(-1,1))^n`:
n=0: `((1,0),(0,1))
n=1: `((1,1),(-1,1))
n=2: `((0,2),(-2,0))
n=3: `((-2,2),(-2,-2))
n=4: `((-4,0),(0,-4))
n=5: `((-4,-4),(4,-4))
n=6: `((0,-8 ),(8,0))
n=7: `((8,-8 ),(8,8 ))
n=8: `((16,0),(0,16))
n=9: `((16,16),(-16,16))

On peut constater que si `n` augmente de 4, alors tous les termes sont multipliés par `-4` .
On doit alors démontrer une conjecture de `((1,1),(-1,1))^n` au moins pour `n-=0(mod4)` et on peut calculer `a_1000`.


26. En ce qui concerne cette question, je n' y arrive pas à montrer qu' il existe un nombre fini `>2` de solutions (la réponse D est correcte).

P.S. Félicitations à celui qui a tout lu, j' espère que mes solutions ne sont pas trop confuses Wink
avatar
carole
Expert
Expert

Messages : 181
Date d'inscription : 11/05/2010
Age : 25

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Commentaires

Message  G. Lorang le Lun 5 Mar - 8:51

Question 7
Il est utile de connaître quelques résultats élémentaires sur la composition des isométries. Regarde par exemple ici :
http://homeomath.imingo.net/isocomp2.htm
ou ici pour un exposé plus détaillé (niveau université) : http://capes-math.univ-rennes1.fr/BEMU-pdf/isometries.pdf
On peut donc raisonner de la manière suivante ici :
`s_D @ s_C @ s_B @ s_A=(s_D @ s_C) @ (s_B @ s_A)= t_(2 vec(CD)) @ t_(2 vec(AB))=Id_Pi`

Question 8
Carole, tu écris à un moment donné : Or ceci n'est possioble que si f est constante. Or ceci est faux. Tes égalités traduisent bien le fait que f est périodique de période k, où k est respectivement égal à 1,2 et 4. Le problème est à mon avis beaucoup plus dur qu'il ne paraît à première vue :

L'égalité `f(x)=2+f(x-4)`, que je note (*) dans la suite, implique que f n'est pas périodique de période T, où T est un nombre rationnel.
En effet, si `T=a/b` était la période (non nulle bien sûr) de f, avec a et b strictement positifs et premiers entre eux, alors on aurait d'une part :
`f(0+4*b*T)=f(0)` (car `4*b` est un entier et T est la période)
`f(0+4*b*T)=f(4a)=2+f(4(a-1))=4+f(4(a-2))=...=2a+f(0)` d'après la relation (*) de l'énoncé.
D'où : `f(0)=2a+f(0) iff a=0`, impossible.

Ces raisonnements suffisent pour affirmer que la réponse doit être D, mais il mes reste un (léger) doute que D soit vrai.

Pour le moment je ne trouve pas de démonstration du fait que f ne peut pas être périodique de période un nombre irrationnel. J'arrive même à construire une fonction périodique de période un irrationnel donné, qui vérifie la relation (*), mais le domaine de cette fonction n'est pas `RR` entier.

En effet : Soit T un nombre irrationnel donné et soit `D={4m+Tn//m,n in ZZ}`.
Nous construisons une fonction dont le domaine est D, dont la période est T et qui vérifie la relation (*) :
1) Nous remarquons d'abord que tout élément de `D` se décompose de façon unique en `4m+Tn`, càd `(m,n) in ZZxZZ` est unique. En effet, `4m+Tn=4m'+Tn' iff 4(m-m')=T(n-n') iff n=n'` et `n=n'` puisque T est irrationnel.
2) Nous choisissons f(0) quelconque.
3) Nous définissons pour `x=4m+Tn in D` : f(x)=2m+f(0)`
4) Cette fonction est a) périodique de période T : `x=4m+Tn => f(x+T)=f(4m+Tn+T)=f(4m+T(n+1))=2m+f(0)=f(x)`
et b) vérifie la relation (*) : `x=4m+Tn => f(x)=2m+f(0)` et `f(x-4)=f(4(m-1)+Tn))=2(m-1)+f(0)`, donc `f(x)=f(x-4)+2`
c.q.f.d

Voilà où j'en suis pour le moment avec cette question, mais peut-être qu'il y a un truc que je ne vois pas ... Smile
Je pense que la condition : "(*) doit être vraie pour tout réel x" implique que f ne peut pas être périodique, mais cela reste à démontrer... Crying or Very sad

Question 12
Est-ce que tu peux le rédiger proprement s.t.p. ?
Par exemple : `(x^4+y^4)=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=4 iff x^2*y^2=0 iff x=0` ou `y=0`
...


Question 15
Tu écris :
Posons `DQ=DP=1`, `AD=AB=BC=CD=3`, `AP=QC=2`:
`QB=PB=sqrt(13)` (th. de Pythagore)
`PQ=sqrt(2)

On pouvait aussi passer par l'aire du triangle BPQ :
`[BPQ]=9-6-1/2=5/2`
Or : `[BPQ]=1/2*BP*BQ*sin(/_PBQ) iff 5/2=1/2*13*sin(/_PBQ) iff sin(/_PBQ)=5/13`

Question 16
Pour `k=1` ou `k>=3` :
`f_k(0)=1+0=1`et `f_k(pi/4)=2/sqrt(2)^k != 1` Donc il y a effectivement seulement 2 solutions.

Question 17
Il faut bien sûr préciser que le plan choisi doit être un plan équatorial, puisque les ennemis veulent habiter aussi loins que possible les uns des autres ...

Question 22
Pas besoin de se fatiguer à chercher les racines comme je l'ai déjà expliqué dans un autre post :
http://lmrl-maths.forumactif.com/t146-omb-eliminatoires-2012

Il y a 4 racines complexes, pas nécessairement distinctes, que nous notons a,b,c,d :
`p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)`
`=x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2-k*x+abcd`
Le coefficient du terme en x n'est pas utile pour notre calcul.

Par comparaison :
`a+b+c+d=12` et `ab+ac+ad+bc+bd+cd=47`

Donc :
`a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=144-2*47=50`

Question 24
Tu ne démontres pas que `(n!)/((n-6)!)=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)` est divisible par `12^2` pour chaque `n>6`.
Je le fais à ta place : dans le produit `n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)` de 6 entiers consécutifs, il y a toujours 2 multiples de 3 et 3 multiples de 2. Parmi les 3 multiples de 2 il y a au moins un multiple de 4. Donc ce produit est toujours divisible par `2^2*4*3^2=144=12^2`.

Question 29
On peut le faire plus vite :
`a_(n+2)=a_(n+1)-b_(n+1)`
`=a_n-b_n-(a_n+b_n)`
`=-2b_n`
Par conséquent :
`a_(n+4)=-2b_(n+2)`
`=-2(a_(n+1)+b_(n+1))`
`=-2*(2a_n)
`=-4a_n`
Donc : `a_1000=(-4)^250*a_0=2^500`

Il reste à faire la question 26 :
Graphiquement on se convainc aisément qu'il y a trois solutions : 1 solution négative (comprise entre -1 et 0) et 2 solutions >0.
On peut aussi résoudre le problème analytiquement pour `x>0` :
Si `x>0` l'équation s'écrit :
`2012^x=x^2012`
`iff x*ln(2012)=2012*ln(x)`
`iff ln(x)/x=ln(2012)/2012`
Ensuite on étudie la fonction `f:x->ln(x)/x` avec tableau de variation, ce qui ne pose pas de problème pour un élève de 1re ... Smile.
On en déduit facilement que l'équation admet 2 solutions distinctes strictement positives.

Voilà, je pense avoir tout corrigé !
Un grand merci à Carole pour son travail énorme !!
Je t'accorde un forfait de 500 points cadeau !!! bounce
Cordialement G. Lorang
avatar
G. Lorang
Admin

Messages : 325
Date d'inscription : 07/05/2010
Localisation : LMR-L

Voir le profil de l'utilisateur http://lmrl-maths.forumactif.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: OMB Demi-Finale 2012

Message  Contenu sponsorisé


Contenu sponsorisé


Revenir en haut Aller en bas

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut

- Sujets similaires

 
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum