Déterminer la base d'un trapèze

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Déterminer la base d'un trapèze

Message  G. Lorang le Mar 31 Jan - 16:28

On considère un trapèze ABCD tel que :
1) `(AB)////(CD)`
2) `AB=12`
3) `AC=10`
4) `BD=6`
5) `[ABCD]=15sqrt(3)` ([ABCD] désigne l'aire du trapèze)
Déterminer CD.
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Re: Déterminer la base d'un trapèze

Message  carole le Mar 31 Jan - 20:28

D' après une des formules de Bretschneider (Aire d' un quadrilatère= `1/2*r*s*sin(theta)` où `theta` est l' angle formé par les diagonales `r` et `s` ):
`1/2*10*6*sin(theta)=15sqrt(3)
`iff sin(theta)=sqrt(3)/2
`iff theta=60°` ou `theta=120°`

`[ABCD]=(12+x)/2*h` (où `h` est la hauteur et `x` la longueur de l' autre base)
Or ceci est également l' aire d' un triangle d' hauteur `h` et de base `12+x`.

Comme on connaît la longueur de deux de ses côtés (les diagonales du trapèze) et les angles possibles formés par ces côtés, on puet calculer la longueur du troisième côté.

D' aprés Al-Kashi:
Étudions d' abord le cas si `theta=60°`:
`(12+x)^2=6^2+10^2-2*10*6*cos(theta)
`iff (12+x)^2=6^2+10^2-2*10*6*cos(60°)
`iff (12+x)^2=6^2+10^2-2*10*6*1/2
`iff (12+x)^2=36+100-60
`iff (12+x)^2=76
`iff 12+x=2sqrt(19)` ou `12+x=-2sqrt(19)
`iff x=-3.28...` ou `x=-20.71....`
Ces deux cas sont à écarter car on cherche x positif!

`theta=120°`:
`(12+x)^2=6^2+10^2-2*10*6*cos(theta)
`iff (12+x)^2=6^2+10^2-2*10*6*cos(120°)
`iff (12+x)^2=6^2+10^2+2*10*6*1/2
`iff (12+x)^2=36+100+60
`iff (12+x)^2=196
`iff 12+x=14
`iff x=2
(le cas où `12+x=-14 iff x=-26` est à écarter)

La distance CD vaut donc 2!
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Message  G. Lorang le Mar 31 Jan - 20:42

Tout à fait correct ! Félicitations !
20 points cadeau Smile
Cordialement, G. Lorang
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Démonstration de la formule de Bretschneider utilisée

Message  carole le Mar 31 Jan - 20:47



L' aire du quadrilatère vaut la somme des aires des 4 triangles formés par les diagonales.

Appelons le point d' intersection des bissectrices I, la distance BI=x et la distance AI=y:

`Aire=1/2*xy*sin(180-theta)+1/2*x(s-y)*sin(theta)+1/2*(r-x)y*sin(theta)+1/2*(r-x)(s-y)*sin(180-theta)
`=1/2*xy*sin(theta)+1/2*(xs-xy)*sin(theta)+1/2*(ry-xy)*sin(theta)+1/2*(rs-ry-xs+xy)*sin(theta)
`=1/2*sin(theta)*[xy+xs-xy+ry-xy+rs-ry-xs+xy]
`=1/2*r*s*sin(theta)

c.q.f.d.

Autres formules de Bretschneider utiles pour le calcul des aires de quadrilatères:
`A=sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd*cos((alpha+beta)/2)^2)
`A=|1/4(a^2-b^2+c^2-d^2)tan(theta)|
`A=1/4sqrt(4r^2s^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2)
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Re: Déterminer la base d'un trapèze

Message  carole le Mar 31 Jan - 20:56

J' ai oublié de préciser que `p` est le demi-périmètre, `a`,`b`, `c` et `d` sont les longueurs des côtés, `r` et `s` sont les longueurs des diagonales et `theta` est l' angle formé par les diagonales! `alpha` et `beta` sont des angles opposés dans le quadrilatère, par exemple des sommets A et C.
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Bravo !

Message  G. Lorang le Sam 4 Fév - 17:38

Je ne connaissais pas, mais je trouve très intéressante la formule de Bretschneider que tu as démontrée !
En fait, on pouvait raisonner de façon plus simple en considérant le point `E` tel que `DCEB` est un parallélogramme et en observant que l'aire de ce parallélogramme est égale à l'aire du trapèze ! Le reste de la démonstration est identique à la tienne !



Merci également pour les autres formules que je ne connaissais pas ! bounce
20 points cadeau pour toi !
Cordialement, G. Lorang


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